Сколько существует натуральных чисел, которые одновременно удовлетворяют двум следующим условиям:
Запись числа в десятичной системе счисления имеет ровно три значащих разряда.
Если перевести это число в девятеричную систему счисления, то запись числа останется трехразрядной, но значение каждого разряда (кроме самого левого, отвечающего за вторую степень, он увеличивается лишь на единицу), увеличится на двойку по сравнению со значениями соответствующих разрядов в записи этого числа в десятеричной системе счисления.
Запись числа в десятичной системе счисления имеет ровно три значащих разряда.
Если перевести это число в девятеричную систему счисления, то запись числа останется трехразрядной, но значение каждого разряда (кроме самого левого, отвечающего за вторую степень, он увеличивается лишь на единицу), увеличится на двойку по сравнению со значениями соответствующих разрядов в записи этого числа в десятеричной системе счисления.
Answers & Comments
Умножение числа на 2 в двоичной системе эквивалентно его сдвигу влево на один разряд. При этом старший разряд старшей тетрады должен перейти в новую, третью тетраду или он будет утерян. Но по условию, после умножения число по-прежнему имеет два разряда, следовательно мы должны потерять старший разряд безболезненно, а это возможно только если он нулевой.
Тогда первоначальное число должно быть записано как
а после удвоения его запись примет вид
Запишем сумму цифр исходного числа p1:
Теперь запишем сумму удвоенного числа p2:
По условию эти две суммы равны и мы составляем уравнение:
Полученное уравнение решается на множестве двоичных чисел.
Поскольку исходное число двузначное, по крайней мере в старшем разряде оно содержит цифру, отличную от нуля. Следовательно, b3 не может равняться нулю и остается только положить b3=1. Тогда уравнение (1) примет следующий вид:
Учитывая, что каждый бит может принимать значения только 0 и 1, мы должны найти такие комбинации бит, которые дадут в сумме 7=4+2+1, потому что у нас в уравнении только такие коэффициенты. Сгруппируем члены в (2):
Полученная система уравнений будет иметь 7 вариантов решений (вариант a2=a1=a0=0 исключается в силу необходимости наличия цифры в старшем разряде), которым в старшем разряде будут соответствовать цифры от 001(2) до 111(2) или от 1(10) до 7(10).
Ответ: 7
Замечание: Из (3) можно легко найти числа, которые соответствуют заданным условиям: 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120 (все в десятичной системе счисления). В 16-ричной системе они запишутся как 1E, 2D, 3C, 4B, 5A, 69,