Verified answer

Ответ:

20336

Объяснение:

По условию все члены арифметических прогрессий различные натуральные числа, откуда следует d∈N.

Чтобы получить возрастающую арифметическую прогрессию наименьшее значение разности d можем выбрать 1.

Определим наибольшее значение d из условия:  

a₁=1, n=25, a₂₅≤1000.

Известно, что общий член арифметической прогрессии можно определить по формуле: aₓ=a₁+(x-1)•d.

Отсюда

a₂₅=1+(25-1)•d≤1000 ⇔ 24•d≤999 ⇔ d≤41,625.

Так как d натуральное число, то наибольшее значение d равен 41.

При d = 41 определим наибольшее значение a₁ из условия:  

a₂₅≤1000, n=25, d = 41.

Тогда

a₂₅=a₁+(25-1)•41≤1000 ⇔ a₁≤1000-984=16.

Отсюда, при d = 41 наименьшее значение a₁=1 и наибольшее значение a₁=16, то есть при d = 41 получаем всего 16 возрастающих арифметических прогрессий из 25 различных натуральных чисел.

Нетрудно увидеть, что при d = 1 наименьшее значение a₁=1 и наибольшее значение a₁=976, то есть при d = 1 получаем всего 976 возрастающих арифметических прогрессий из 25 различных натуральных чисел.

Теперь определим шаг изменений наибольших значений a₁:

(976-16)/(41-1)=960/40=24.

Значит, следующую получаем арифметическую прогрессию из наибольших значений a₁:

b₁=16, d=24, b₄₁=976.

Сумма первых x членов арифметической прогрессии {bₓ} вычисляется по формуле

Sₓ=(b₁+bₓ)•x/2.

Вычислим сумму первых 41 членов арифметической прогрессии {bₓ}:

S₄₁=(b₁+b₄₁)•41/2=(16+976)•41/2=992•41/2=496•41=20336.