. Случайная величина X подчинена нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю. Вероятность попадания этой случайной величины в интервал ) 2;2( равна 0,5. Найти среднее
квадратичное отклонение и написать дифференциальную функцию распределения.
квадратичное отклонение и написать дифференциальную функцию распределения.
Answers & Comments
Verified answer
Дифференциальная функция нормального распределения в общем виде имеет вид f(x)=1/[(σ*√(2*π)]*e^[-(x-a)²/(2*σ²)]. В нашем случае по условию a=0, поэтому функция имеет вид f(x)=1/[σ*√(2*π)]*e^[-x²/(2*σ²]. Так как a=0, то график этой функции симметричен относительно оси ординат, и тогда P(-2<X<2)=2*P(0<X<2). Но P(0<X<2)=Ф(2/σ)-Ф(0/σ)=Ф(2/σ)-Ф(0), где Ф(x) - функция Лапласа. Но Ф(0)=0,5, поэтому Ф(2/σ)-Ф(0)=Ф(2/σ)-0,5. Используя условие, находим P(0<X<2)=1/2*P(-2<X<2)=1/2*0,5=0,25. Теперь мы пришли к уравнению Ф(2/σ)-0,5=0,25, или Ф(2/σ)=0,75. Используя таблицу значений функции Лапласа, находим 2/σ≈1,15, откуда σ≈1,74. Тогда функция распределения имеет вид f(x)=1/[1,74*√(2*π)]*e^[-x²/(2*(1,74)²]. Ответ: σ≈1,74, f(x)=1/[1,74*√(2*π)]*e^[-x²/(2*(1,74)²].