Verified answer

Периметр прямоугольного треугольника равен 40, а радиус вписанной в него окружности равен 3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. 

Пусть данный треугольник АВС, угол С=90º, АВ - гипотенуза.

Обозначим точку  касания окружности с АВ  - К, с ВС -Н, с АВ - М.

По свойству отрезков касательных из одной точки до точек касания 

АК=КМ, МВ=НВ, КС=НС. 

Примем АК=у, НВ=х

Тогда АС=АК+КС=у+3, 

ВС=ВН+СН=х+3. 

АВ=х+у

Р=у+3+х+3+х+у

2х+2у+6=40 ⇒

х+у=17 ⇒

АВ=17

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника,  равен половине гипотенузы. 

R=17:2=8,5 (ед. длины)

------

Можно найти и катеты треугольника. 

ВМ=х

АМ=17-х

АС=17-х+3=20-х

ВС=х

По т.Пифагора АВ²=АС²+ВС²

289=400-40х+х²+х²+6х+9 Приведя подобные члены и сократив на 2, получим квадратное уравнение 

х²-17х+60=0

Решив уравнение, найдем два корня, и оба подходят.

х1=12, х2=5

ВС=5+3=8,

АС=20-5=15