Ответ:

Для збільшення даного інтегралу можна замінити заміну:

u = √(e^(3x) + 1), тоді

u^2 - 1 = e^(3x)

2u * du = 3e^(3x) * dx

dx = 2u/(3e^(3x)) * du

Підставляючи це у вихідний інтеграл, виробляємо:

∫dx/(sqrt((e^3x)+1)) = ∫2u/(3e^(3x) * u) * du

Скорочуємо u та використовуємо властивість інтеграла ∫du/u = ln|u| + C, маємо:

(2/3) * ∫du/(√(e^(3x) + 1)) = (2/3) * ln|√(e^(3x) + 1)| + C

Замінюємо √(e^(3x) + 1) на u:

= (2/3) * ln|√(e^(3x) + 1)| + C

= (2/3) * ln(e^(3x)/√(e^(3x) + 1)) + C

= (2/3) * (3x - 1/2 * ln(e^(3x) + 1)) + C

= 2x - 1/3 * ln(e^(3x) + 1) + C

Тому, інтеграл ∫dx/(sqrt((e^3x)+1)) дорівнює 2x - 1/3 * ln(e^(3x) + 1) + C.