Ответ:

1) sin^4 x + sin^4 (x + pi / 4) = 1/4

Для преобразований используем формулу для косинуса двойного угла

sin^2 x = (1 - cos 2x) / 2

тогда

sin^4 x = (1 - cos 2x) ^ 2 / 4

Для преобразований используем формулу синуса суммы углов

in * (x + pi / 4) = sin x - cos n/4 + cos x sin r/4 = 1/ 12. (sin x + cos x)

sin^2 (x + pi / 4) = 1/2 (sin x + cos x)2 = 1/2 ·(sin² x + 2sin x - cos x + cos² x) =

= 1/2 (1 + sin 2x)

sin² (x + п/4) = [1/2 (1 + sin 2x)]2 = 1/4 -(1 + sin 2x)²

После преобразований получим такое уравнение:

(1 - cos 2x) ^ 2 / 4 + 1/4 * (1 + sin 2x) ^ 2 = 1/4

(1 - cos 2x) ^ 2 + (1 + sin 2x) ^ 2 = 1

раскроем скобки

1 - 2cos 2x + cos^2 (2x) + 1 + 2sin 2x + sin^2 (2x) = 1

преобразуем

1 - 2cos 2x + 1 + 1 + 2sin 2x = 1

22cos 2x + 2sin 2x = 0

1 - cos 2x + sin 2x = 0

2sin^2 x + 2sin x * cos x = 0

2sin x (sin x + cos x) = 0

sin x₁ = 0

X₁ = πn

sin x + cos x = 0

tg * x_{2} + 1 = 0

tg * x_{2} = - 1

x_{2} = - pi / 4 + pi*n

наимень ший положительный корень х = 3п/ 4

2)4 /sin x/ . sin(п/6 - x) = √3

2 /sin x/ . sin(п/6 - x) = √3/2

a) sin X >= 0

2 sin x . sin(п/6 - x) = √3/2

Воспользуемся формулой для произведения синусов:

sin x - sin(п/6 - x)= 1/2 [cos(x - п/6 + x) - cos(x + п/ 6 - x)] =

= 1/2 [cos(2x - п/6) - cos п/6] = 1/2 [cos(2x - П/6) - √3/2]

подставим полученное в уравнение

2.1/2 [cos(2x - п/6) - √3/2] = √3/2

cos(2x - П/6) - V3/2 = √3/2

cos(2x - п/6) = V3

косинус не может быть больше 1, поэтому при sin x≥ 0 уравнение решений не имеет.

б) sin x < 0

-2 sin x . sin(п/6 - x) = √3/2

Воспользуемся полученной выше формулой для произведения синусов:

sin x . sin(п/6-x) = 1/2 [cos(2x - п/б) - √3/2]

подставим в уравнение

-2-1/2 [cos(2x - п/6) - √3/2] = √3/2

-cos(2x - п/6) + √3/2 = √3/2

cos(2x - П/6) = 0

2х - п/6 =п/2 + пи

2x = п/2 + пn + п/6

2x = 2π/3 + în

x = п/3 + пn/2

наименьший положительный корень х = п/з