1. Сумма углов треугольника 180°, поэтому

∠С = 180° - (∠А + ∠В) = 180° - (40° + 60°) = 80°

По теореме синусов:

a : sin∠A = b : sin∠B

b = a · sin∠B / sin∠A

b = 10 · sin 60° / sin 40° ≈ 10 · 0,866 / 0,6428 ≈ 13,5

По теореме синусов:

a : sin∠A = с : sin∠С

с = a · sin∠C / sin∠A

c = 10 · sin 80° / sin 40° ≈ 10 · 0,9848 / 0,6428 ≈ 15,3

2.Как известно, сумма двух сторон треугольника должна быть больше третей cтороны. Проверим это:

1. 17+69>41

2. 17+41>69?

3. 69+41>17

Условие (2) не удовлетворяется. Следовательно такой треугольник не существует.

3. Как известно, сумма двух сторон треугольника должна быть больше третей cтороны. Проверим это:

1. 19+13>9

2. 19+9>13

3. 13+9>19

Неравенства удовлетворяются. Значит треугольник с такими сторонами существует.

Найдем углы треулгольника.

Из теоремы косинусов имеем:

c2=a2+b2−2ab⋅cosC

Тогда:

cosC=a2+b2−c22ab =192+132−922⋅19⋅13=0.908∠C=24.77°

Из теоремы косинусов имеем:

a2=b2+c2−2bc⋅cosA

Тогда:

cosA=b2+c2−a22bс=132+92−1922⋅13⋅9=−0.474∠A=118.294°

Из теоремы косинусов имеем:

b2=a2+c2−

2ac⋅cosB

Тогда:

cosB=a2+c2−b22ac=192+92−1322⋅19⋅ 9=0.798∠B=37.06°

Ответ:∠A=118.294,∠B=37.06,∠C=24.77.