Найти наименьшее и наибольшее значения функции у = tqx - x на отрезке [ -π/4 ; π/4 ] . ------------------ Функция у = tqx - x не определена в точках x = π/2 +π*n , n∈ Z . На отрезке [ -π/4 ; π/4 ] определена и принимает наименьшее и наибольшее значения. Функция нечетная : tq(-x) -(-x) = - tqx +x = - ( tqx -x ) . y ' =( tqx - x) ' =1/cos²x - 1 = (1-cos²x) / cos²x = sin²x /cos²x ≥ 0 монотонно возрастающая функция ( и при переходе через точку x = 0 производная не меняет знак ) . y ( x= - π/4) = tq( - π/4) -(- π/4) = - tqπ/4 + π/4 = π/4 -1 . y ( x= π/4) = tqπ/4 - π/4 = 1 - π/4 .
ответ : y min = π/4 -1 ≈ - 0,215 ; y max =π/4 -1 ≈ 0,215 .
* * * * * * критические точки y ' =0 ⇒sinx =0⇔x =π *n , n∈Z на отрезке [ -π/4 ; π/4 ] только x =0 . .Намного удобнее использовать функция в виде f(x) = tqx - x , тогда f(-x) = tq(-x ) - (-x ) = -tqx + x = - (tqx - x) = - f(-x)→ нечетная значения функции в точке x = π/4 : f(π/4) = tqπ/4 - π/4 = 1 - π/4
Answers & Comments
Verified answer
Найти наименьшее и наибольшее значения функции у = tqx - x на отрезке [ -π/4 ; π/4 ] .------------------
Функция у = tqx - x не определена в точках x = π/2 +π*n , n∈ Z .
На отрезке [ -π/4 ; π/4 ] определена и принимает наименьшее и наибольшее значения. Функция нечетная : tq(-x) -(-x) = - tqx +x = - ( tqx -x ) .
y ' =( tqx - x) ' =1/cos²x - 1 = (1-cos²x) / cos²x = sin²x /cos²x ≥ 0
монотонно возрастающая функция ( и при переходе через точку x = 0 производная не меняет знак ) .
y ( x= - π/4) = tq( - π/4) -(- π/4) = - tqπ/4 + π/4 = π/4 -1 .
y ( x= π/4) = tqπ/4 - π/4 = 1 - π/4 .
ответ : y min = π/4 -1 ≈ - 0,215 ; y max =π/4 -1 ≈ 0,215 .
* * * * * *
критические точки y ' =0 ⇒sinx =0⇔x =π *n , n∈Z на отрезке [ -π/4 ; π/4 ]
только x =0 .
.Намного удобнее использовать функция в виде f(x) = tqx - x , тогда
f(-x) = tq(-x ) - (-x ) = -tqx + x = - (tqx - x) = - f(-x) → нечетная
значения функции в точке x = π/4 : f(π/4) = tqπ/4 - π/4 = 1 - π/4