Умножим первое уравнение на 6, сложим его со вторым и заменим второе уравнение этой суммой уравнений. Получим систему x²+2y²=17, 12x²-xy=102. Из второго уравнения находим y=12x-102/x. Подставляя это выражение для y в первое уравнение, получаем уравнение 289x²-4896+20808/x²=17. Умножая его на x² и перенося 17x² в левую часть уравнения, получаем уравнение 289x⁴-4913x²+20808=0, или - по сокращении на 289 - уравнение x⁴-17x²+72=0. Полагая x²=t, приходим к уравнению t²-17t+72=0. Дискриминант D=(-17)²-4*1*72=1=1². Отсюда t=(17+1)/2=9 либо t=(17-1)/2=8. При t=9 x1=3, y1=12*3-102/3=2, x2=-3, y2=12*(-3)-102/(-3)=-2. При t=8 x3=√8=2√2, y3=12*2√2-102/(2√2)=-3/√2, x4=-√8=-2√2, y4=-12*2√2+102/(2√2)=3/√2. Проверка: 1) 3²+2*2²=9+8=17, 6*3²-3*2-12*2²=0 2) (-3)²+2*(-2)²=17, 6*(-3)²-(-3)*(-2)-12*(-2)²=0 3) (2√2)²+2*(-3/√2)²=8+2*9/2=17, 6*(2√2)²+2√2*3/√2-12*(-3/√2)²=0, 4) (-2√2)²+2*(3/√2)²=8+2*9/2=17, 6*(-2√2)²+2√2*3/√2-12*(3/√2)²=0
Answers & Comments
Verified answer
Умножим первое уравнение на 6, сложим его со вторым и заменим второе уравнение этой суммой уравнений. Получим систему x²+2y²=17, 12x²-xy=102. Из второго уравнения находим y=12x-102/x. Подставляя это выражение для y в первое уравнение, получаем уравнение 289x²-4896+20808/x²=17. Умножая его на x² и перенося 17x² в левую часть уравнения, получаем уравнение 289x⁴-4913x²+20808=0, или - по сокращении на 289 - уравнение x⁴-17x²+72=0. Полагая x²=t, приходим к уравнению t²-17t+72=0. Дискриминант D=(-17)²-4*1*72=1=1². Отсюда t=(17+1)/2=9 либо t=(17-1)/2=8. При t=9 x1=3, y1=12*3-102/3=2, x2=-3, y2=12*(-3)-102/(-3)=-2. При t=8 x3=√8=2√2, y3=12*2√2-102/(2√2)=-3/√2, x4=-√8=-2√2, y4=-12*2√2+102/(2√2)=3/√2.Проверка:
1) 3²+2*2²=9+8=17, 6*3²-3*2-12*2²=0
2) (-3)²+2*(-2)²=17, 6*(-3)²-(-3)*(-2)-12*(-2)²=0
3) (2√2)²+2*(-3/√2)²=8+2*9/2=17, 6*(2√2)²+2√2*3/√2-12*(-3/√2)²=0,
4) (-2√2)²+2*(3/√2)²=8+2*9/2=17, 6*(-2√2)²+2√2*3/√2-12*(3/√2)²=0
Значит. решения найдены верно