Здесь существует достаточно простая интерпретация: правильный -угольник -- это по сути множество , где -- корень -ой степени из единицы.

Прежде чем рассматривать случай произвольного , рассмотрим случай пятиугольника. Заметим, что у него один вид стороны (как и у любого правильного многоугольника) и один вид диагонали (коих в нем ). Тогда  требуется посчитать сумму .

Ее же можно переписать и иначе: , раскрыть это не очень страшно, поскольку многие синусы и косинусы сольются в единицу: . Теперь отметим, что и -- все это следует из картинки и симметрии (первое -- из суммы всех степеней корня пятой степени из единицы). Но тогда искомая сумма равна , а ответ -- . То, что искомая величина оказалась равной квадрату числа сторон -- не случайность.

Теперь считаем в общем виде:

. Переписывая в тригонометрической форме: . Осталось заметить, что есть сумма действительных частей всех корней, а потому равна нулю (поскольку вся сумма равна нулю), значит, , следовательно, искомая сумма равна .