Ответ:

1) Развёртывать пишется через Ы по той причине, что глагол образован с помощью неизменяемого суффикса -ЫВА.

2) Берестяной пишется через Я по той причине, что прилагательное образовано от существительного берёста с помощью суффикса -ЯН.

3) Полотенцем пишем через Е по той причине, что после шипящих и ц в окончаниях существительных под ударением пишется буква о, без ударения — буква Е.

4) Горячей пишем через Е по той причине, что прилагательные в женском роде, дательном падеже множественного числа  имеют окончание -ЕЙ.