Дан четырёхугольник ABCD с равными противолежащими сторонами.

Доказать, что он параллелограмм.

1. Проведем диагональ AC.

2. Рассмотрим треугольники ABC и CDA.

1) AB=CD (по условию)

2) BC=AD (по условию)

3) сторона AC- общая

Следовательно, треугольники ABC и CDA равны (по трем сторонам).

3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠CAB=∠ACD и ∠ACB=∠CAD.

4. ∠CAB и∠ACD — внутренние накрест лежащие при прямых AB и CD и секущей AC.

Так как  ∠CAB=∠ACD, то прямые параллельны: AB ∥ CD (по признаку параллельности прямых).

Аналогично, из равенства углов ∠ACB=∠CAD следует параллельность другой пары прямых: AD ∥ BC.

5. Доказали, что в четырехугольнике ABCD

1) AB ∥ CD

2) AD ∥ BC.

Следовательно, ABCD — параллелограмм.

Доказано.