Ответ:

x=400; y= -3978

Объяснение:

y=x√x-30x+22;

Область определения фунции:

x ∈ [0 ; +∞ [ (т.к. аргумент находится под знаком квадратного корня, следовательно x ≥ 0)

Определим интервалы монотонности функции, для чего найдем точки экстремума (если они существуют).

Возьмем производную функции (производная существует, т.к. функция непрерывна на заданном интервале) :

y'=(x√x-30x+22)';

y'=x'√x+x(√x)'-30;

y'=√x+x(1/2)x^(-1/2)-30;

y'=√x+x/(2*√x)-30;

y'= √x + x*√x/(2x)-30;

y'= √x+√x/2-30.

y'= (3*√x)/2-30

Приравняем производную 0:

y'=0;

(3/2)√x-30=0;

√x=20;

x=20^2;

x=400.

Определим, эта точка максимум, или минимум.

y' при x=399 (слева от точки экстремума)

y'=1.5√x-30;

y'=1,5√399-30=-0,037

y' при x=401 (справа от точки экстремума)

y'=1.5√x-30;

y'=1,5√401-30=+0,037

В точке экстремума производная меняет знак с "-" на "+", следовательно этот экстремум - минимум функции.

Следовательно на интервале [0 ; 400 { функция монотонно убывает, а на интервале ] 400; +∞[ функция монотонно возрастает.

Значит на заданном интервале x [2 ; 500] функция имеет минимальное значение в точке минимума. Подставим значение абсциссы минимума, и вычислим значение ф-ии в этой точке

y=x√x-30x+22; при х=400

y=400√(400)-30x*400+22=400*20-30*400+22=8000-12000+22= -3978