Доказательства:

1)

ΔABD = ΔCBD по 1-му признаку равенства треугольников: АВ = СВ,  ∠ABD = ∠CBD по условию и сторона BD - общая.

В равных треугольниках против равных сторон лежат и равные углы.

Поскольку АВ = СВ, то ∠ADB = ∠CDB, следовательно DB - биссектриса ∠ADC, что и требовалось доказать.

2)

ΔАСО = ΔBDO по 2-му признаку равенства треугольников: CO = DO, ∠ACO = ∠BDO - по условию и ∠АОС = ∠BOD - как вертикальные углы.

В равных треугольниках против равных углов лежат и равные стороны.

Поскольку ∠ACO = ∠BDO, то и АО = ВО, следовательно, точка О - середина отрезка АВ, что и следовало доказать.