Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 10 см. Точка пересечения диагоналей отдалена от оснований на 2 см и 3 см. Найдите площадь этой трапеции.

Чертёж смотрите во вложении.

Дано:

Четырёхугольник ABCD - равнобедренная трапеция (AD = BC, DC и АВ - основания).

DC < АВ.

АС и DB - диагонали.

Точка О - точка пересечения АС и DB.

ОЕ - расстояние от точки О до DC.

ОН - расстояние от точки АВ.

ОЕ = 2 см.

ОН = 3 см.

DC = 10 см.

Найти:

S(ABCD) = ?

Решение:

Рассмотрим ΔDOC и ΔBOA. По свойству трапеции ΔDOC ~ ΔBOA (это не сложно доказать, если рассмотреть пару равных накрест лежащих углов при параллельных прямых).

ОН - высота ΔBOA, ОЕ - высота ΔDOC. У подобных треугольников отношение линейных элементов (медиан, биссектрис, высот и так далее) равно коэффициенту подобия.

∠DOC = ∠AOB (так как они вертикальные). В подобных треугольниках против равных углов лежат сходственные стороны. А отношение сходственных сторон подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

То есть -

Подставим известные нам значения в формулу -

AB = 15 см.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты оснований.

Отрезок ЕН - высота, так как перпендикулярна основаниям. ЕН = ОЕ+ОН = 2 см+3 см = 5 см.

Полусумма оснований = 0,5*(DC+АВ) = 0,5*(10 см+15 см) = 0,5*25 см = 12,5 см.

S(ABCD) = 12,5 см*5 см = 62,5 см².

Ответ: 62,5 см².