1) времени:

Он ходил в старой, потрепанной кепке, когда был студентом.

2) причины:

Он ходил в старой, потрепанной кепке, потому что не хотел покупать другую.

3) уступки:

Он ходил в старой, потрепанной кепке, несмотря на то что на улице было холодно.

4) определительным:

Он ходил в старой, потрепанной кепке, которая была ему очень дорога.

5) присоединительным:

Он ходил в старой, потрепанной кепке, отчего казался окружающим довольно необычным.