Сторона AC треугольника ABC пересекает окружность в точках M и N ,находящихся от вершины A на расстоянии 9 и 36 соответственно .Окружность имеет точку касания со стороной AB .Косинус угла при вершине A равен √15÷4 .Найдите радиус окружности
Центр О окружности лежит на перпендикуляре, проведенном к середине отрезка MN. Обозначим: - точку касания окружностью стороны АВ точкой К, - точки пересечения осью окружности, перпендикулярной стороне АС, со стороной АС за точку Р, со стороной АВ за точку Е, - отрезок ОР за х, - отрезок РЕ за в. Так как окружность проходит через точки М и К, то МО и КО как радиусы равны. Из треугольников ОМР и ОКЕ составим уравнение:
Возведём в квадрат и получаем квадратное уравнение: (1 - cos²A)*x²-2bcos²A*x+(13.5²-b²cos²А) = 0. Значение в находим: в = 22,5*tgA = 22.5*((1-cos²A)/cosA) = 5,809475. Подставив значения в и cosA, получаем: 0,0625х² - 10,892766х + 150,609375 = 0. Отсюда х₁ = 15,1421, х₂ = 159,142 - этот корень отбрасываем, так как точка К выходит за пределы треугольника АВС. Тогда радиус равен: R=√(13.5² + x²) = √(13.5²+15.1421²) = 20,286281.
2 votes Thanks 0
kamaz251982
я в итоге решил эту задачу ,правда несколько по другому ,сложность заключалась в том ,что в задачнике ответ 16
kamaz251982
у меня ответ получился приблизительно 20,2
dnepr1
Значение х = 15,1421 как корня квадратного уравнения проверено с помощью программы WolfrmAlpha. Если правильно записано задание, то указанный ответ проверен графически в АвтоКАДе.
kamaz251982
задание взято из ОГЭ племянницы и ответ то же ,я решал через теорему касательной и секущей проведенных из точки ,лежащей вне окружности ,затем Пифагор ,тригнометрия и в итоге нашёл радиус через сторону и синус противолежащего угла вписанного треугольника,так же возможно решение через центральный угол .Если начертить с условием R=16 ,то угол будет больше заданного ,стало быть ошибка в ответе задачника .
dnepr1
Позже я нашёл простое решение, используя теорему касательной и секущей. Касательная АК=корень(9*36)=18. Отрезок касательной КЕ (до оси окружности) равен АЕ-АК= 22,5/cosA-18 = 23.23790008-18= 5.237900077.Радиус равен этой величине, делённой на тангенс угла КОЕ (он равен углу А). R=5.237900077 /0.25819889=20.28629977.
dnepr1
Разница с выше приведенным ответом только в 5 знаке после запятой (меньше вычислений - меньшая погрешность).
Answers & Comments
Verified answer
Центр О окружности лежит на перпендикуляре, проведенном к середине отрезка MN.Обозначим:
- точку касания окружностью стороны АВ точкой К,
- точки пересечения осью окружности, перпендикулярной стороне АС, со стороной АС за точку Р, со стороной АВ за точку Е,
- отрезок ОР за х,
- отрезок РЕ за в.
Так как окружность проходит через точки М и К, то МО и КО как радиусы равны.
Из треугольников ОМР и ОКЕ составим уравнение:
Возведём в квадрат и получаем квадратное уравнение:
(1 - cos²A)*x²-2bcos²A*x+(13.5²-b²cos²А) = 0.
Значение в находим: в = 22,5*tgA = 22.5*((1-cos²A)/cosA) = 5,809475.
Подставив значения в и cosA, получаем:
0,0625х² - 10,892766х + 150,609375 = 0.
Отсюда х₁ = 15,1421,
х₂ = 159,142 - этот корень отбрасываем, так как точка К выходит за пределы треугольника АВС.
Тогда радиус равен:
R=√(13.5² + x²) = √(13.5²+15.1421²) = 20,286281.
5.237900077.Радиус равен этой величине, делённой на тангенс угла КОЕ (он равен углу А). R=5.237900077
/0.25819889=20.28629977.