Verified answer

СторонаBC треугольника ABC(AB=13,BC=15,AC=14) лежит в плоскости альфа,расстояние от точки А до плоскости альфа равно 7. Определите расстояние отточек B1 и C1 до плоскости альфа, где BB1 и CC1 высоты треугольника ABC.
---.---.----. ---.---.----. ---.---.----. ---.---.----. ---.---.----. ---.---.----. ---.---.----. ---.---.----. --(task/24621882) 
рисунок в прикрепленном файле  

схема решения :
1. Доказать, что треугольник ABC  остроугольный ;  тем самым     доказывается , что точки B1 и C1 ( основания высот)   лежат на     сторонах  AC и  AB  соответственно .
2. Вычислить площадь треугольника по формуле Герона.
3.Определить высоты  BB₁ и CC₁ треугольника ABC( BB₁⊥AC,CC₁ ⊥AB).
4.  Вычислить отрезки     CB₁ и BC₁ .
5. Вычислить расстояния от точек  B₁ и C₁ до плоскости α 
   (C₁C₂ ⊥ α ,   B₁B₂ ⊥ α)

 1.
 BC²  < AB² +AC²   значит треугольник остроугольный
15² < 13² +14²        || 225 < 169 + 196 = 365 ||
---
2.
S =√p(p-a)(p-b)(p-c) ,где p =(a+b+c) /2 = (15+14+13)/2 =21(полупериметр)
S =√21(21-15)(21-14)(21-13) = √21*6*7*8= √7*3*6*7*2*4 = 7*6*2=84.
---
3.
S =AC* BB₁ /2 ⇒BB₁ = 2S/ AC
BB₁=2*84/14 =12.
S =AB*CC₁ /2⇒CC₁ =2S/AB
CC₁ =2*84/13 =168/13 ; 
---
4.
из ΔCB₁B :
CB₁ =√(BC² - BB₁²) =√(15² - 12²) =9.
* * *√(15 -12)(15+12) =√(3*27)  или √(15² - 12²) =√(225 - 144)=√81 =9 * * *
из ΔВC₁С : 
ВC₁ =√(BC² -СC₁²) =√(15² - (168/13)²) =√(15 -168/13)(15 +168/13) =
√(27/13)*(363/13) =(1/13)√(3*9 *3*121) =99/13 .
---
5.
ΔB₁B₂C ~ ΔADC ; 
B₁B₂ /AD = CB₁ /CA  ⇒    B₁B₂= (CB₁ /CA)*AD = (9/14)*7 = 4,5.
--
ΔC₁C₂B ~ ΔADB ;
C₁C₂/AD = BC₁/BA   ⇒  C₁C₂ =(BC₁/BA)*AD =(99/13²)*7 =693 /169.≈4,1

 ответ:  4,5  ;  693/169 ≈4,1.