Теорема Фалеса: «Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.»

· Сторона АВ оказалась поделена парал-ми прямыми на три равных отрезка (АК, КМ, МВ), => сторона АС тоже поделена ими на три равных между собой отрезка (АР, РN, NC);

· Наименьший отрезок, содержащийся между сторонами треугольника, - отрезок КР (=3);

· Рассмотрим ∆АМN: KP - средняя линия данного треугольника.

Средняя линия треугольника - отрезок, концами которого являются середины двух сторон треугольника. При этом данный отрезок параллелен третьей стороне треугольника и равен её половине.

Из определения следует, что КР=1/2МN или MN=2KP; => MN=2*3=6;

· Рассмотрим трапецию РКВС: МN - средняя линия трапеции.

Средняя линия трапеции - отрезок, концами которого являются середины боковых! сторон трапеции. При этом данный отрезок параллелен основаниям трапеции и равен их полусумме.

Из определения следует, что МN=(KP+BC)/2; 2MN-BC=KP; BC=12-3=9.

Ответ: 9.