Стороны треугольника ABC равны AB=5, BC=10, AC=7. В вершине C находится масса 10. Какие массы нужно поместить в вершины A и B, чтобы центр масс попал в точку пересечения биссектрис треугольника ABC? В точку A необходимо поместить массу В точку B необходимо поместить массу
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
Ответ:
mA =20 ед. mB = 14 ед.
Объяснение:
Теорема о группировке масс: "Если часть материальных точек заменить точкой, расположенной в их центре масс и имеющей ненулевую массу, равную сумме масс этих точек, то центр масс всех точек не изменится".
По условию, для каждой стороны центр масс ДОЛЖЕН находиться в точке, в которой биссектриса противолежащего угла пересекает эту сторону.
АК/КС =1/2 (свойство биссектрис). => АК = 7/3. KC = 14/3.
ВР/РС =5/7 (свойство биссектрис). => ВР = 5/12. KC = 7/12.
Для обеспечения равновесия массы в точках А и С ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫ длинам рычагов, то есть
mA·AK = 10·KC => mA = 10·(14/3)/(7/3) = 20 ед.
Аналогично, mB·BP = 10·PC => mB= 10·(7/12)/(5/12) = 14 ед.
Проверим: mB·BM = mA·AM => 20= 14·(50/17)/(35/17) ?
20 = 20.
векторное равенство m1OA1+ m2OA2+... mnOAn = 0.
(АМ/МВ)·(ВО/ОК)·(КС/СА) = 1. => ВО/ОК = 30/14. (АМ/МВ=7/10 и КС/СА=2/3 - по свойству биссектрис).
Масса в точке К = mА+mC = 30. Масса в точке В = 14.
должно быть: mB·BO = mK·OK => 14·30 = 30·14. OK. Аналогично и для других "рычагов": АО/ОР и СО/ОМ.