Существует ли число вида 3^n+1 (n принадлежит N) , делящееся на 10^100? Ответ объясните
Answers & Comments
mathgenius
Предположим что такое число существует. То оно раз делиться на ,10^100 то и делиться на 10. А значит число 3^n должно кончаться цифрой 9. Последние цифры числа 3^n чередуются по правилу: 3,9,7,1,3,9,7,1... Числа с цифрой 9 в конце происходят при n=4k-2, k-натуральные числа. Тогда наше число n если существует имеет вид: 3^n+1=3^(4k-2)+1 Представим его так: 3^(4k-2)+1=(4-1)^(4k-2)+1 Выражение (4-1)^(4k-2) представляет собой многочлен бинома Ньютона. В нем каждый член кроме члена (-1)^(4k-2) помножен на какую либо степень четверки. Таким образом сумма всех членов кроме (-1)^(4k-2) делиться на 4 (Обозначим ее S). Тк 4k-2 cтепень четная при любом натуральном k,то (-1)^(4k-2)=1 Тогда можно записать: 3^n +1=3^(4k-2)+1=4S+2 То есть число 3^n+1 при делении на 4 дает остаток 2. Но тк по предположению такое число делиться на 10^100 ,то как следствие должно делиться на 4 без остатка. То есть мы пришли к противоречию. То есть такого числа не существует.
Answers & Comments
Последние цифры числа 3^n чередуются по правилу: 3,9,7,1,3,9,7,1...
Числа с цифрой 9 в конце происходят при n=4k-2, k-натуральные числа.
Тогда наше число n если существует имеет вид:
3^n+1=3^(4k-2)+1
Представим его так:
3^(4k-2)+1=(4-1)^(4k-2)+1
Выражение (4-1)^(4k-2) представляет собой многочлен бинома Ньютона. В нем каждый член кроме члена (-1)^(4k-2) помножен на какую либо степень четверки. Таким образом сумма всех членов кроме (-1)^(4k-2) делиться на 4 (Обозначим ее S). Тк 4k-2 cтепень четная при любом натуральном k,то
(-1)^(4k-2)=1
Тогда можно записать:
3^n +1=3^(4k-2)+1=4S+2
То есть число 3^n+1 при делении на 4 дает остаток 2. Но тк по предположению такое число делиться на 10^100 ,то как следствие должно делиться на 4 без остатка. То есть мы пришли к противоречию. То есть такого числа не существует.