Ответ:

Да, существует.

Объяснение:

Сумма цифр трехзначного числа может меняться от 1 (100) до 27 (999).

Простые числа в этом промежутке: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23

Подходит число 476 = 2*2*7*17, и его сумма цифр равна 17.

17 это самый большой простой делитель. С делителями 19 и 23 таких чисел нет.

Самые маленькие делители 5 и 7. Это числа 500 = 2*2*5*5*5, сумма цифр 5.

И 700 = 2*2*5*5*7, сумма цифр 7.

Решить это, к сожалению, можно только подбором.

Ясно, что числа 2 и 3 можно сразу отбросить.