х²-10х+31=-5

 х²-10х+31+5=0

  х²-10х+36=0 

Д<0, корней нет, значит не существует

 х²-10х+31=6

 х²-10х+31-6=0

  х²-10х+25=0

Д = 0    один корень, значит существует один корень при у =6

 х²-10х+31=55 

 х²-10х+31-55=0

 х²-10х- 24 =0

 Д>0   два корня, существует, при у=55  будут два корня