Монохроматический источник излучает волны с определённой интенсивностью. Интенсивность волны - это фактически мощность излучения, проходящего через единицу площади:
I = (W/t)/S, где W - энергия излучения, t - время излучения, S - площадь поверхности, через которую проходит излучение.
Отношение W/t - это мощность, то есть:
I = (W/t)/S = P/S
Так как источник точечный, то плотность потока его излучения (плотность потока излучения = интенсивность волны = мощность излучения через единицу площади поверхности - это всё одно и то же) убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до источника. Это как с силой тяготения - чем выше тело над поверхностью Земли, тем слабее Земля притягивает его. Так же и здесь - чем дальше источник излучения от поверхности, тем "слабее" поток этого излучения проходит через поверхность. Математически мы можем выразить это, если представим S как площадь поверхности шара:
S = 4πR² => I = P/S = P/(4πR²) = (P/4π) * (1/R²)
Ещё один (более понятный) пример зависимости плотности потока излучения от расстояния. Зимой наша Земля находится далеко от Солнца, а летом - ближе. Расстояние от планеты до Солнца зимой больше, а летом - меньше. Поэтому плотность потока солнечного излучения зимой меньше (холодно), а летом - больше (тепло). То есть, если бы Солнце было мощным лазером, а не сферическим источником, то оно излучало бы пучком, а не во все стороны, и тогда расстояние уже не играло бы особой роли.
Далее. Свет падает нормально, то есть перпендикулярно поверхности. Значит, косинус угла падения равен 0°, то есть равен единице. Если бы световые волны падали под углом, то интенсивность I умножалась бы на cosα между нормалью к поверхности n и направлением волн I (I - это ещё и вектор Умова-Пойнтинга, то есть это уже четвёртое понятие наряду с интенсивностью волны, плотностью потока...).
Каждая зеркальная поверхность имеет коэффициент отражения. Предполагается, что зеркальная поверхность в задаче имеет 100% отражающую способность, т.е. r = 1.
Давление, оказываемое светом, найдём по формуле Максвелла:
p = ω*(1 + r), где ω - объёмная плотность энергии излучения. Объёмную плотность можно выразить так:
ω = W/V, где V = S*R => ω = W/(S*R)
Но нам неудобно будет использовать R в этом выражении (потому что в конечном уравнении будет присутствовать не мощность Р, а энергия W, которая неизвестна по условиям), поэтому заменим R на произведение скорости волны с и времени t (ведь R - это расстояние, которое фотон проходит со скоростью света за время t):
ω = Ι/с => Ι = ω*с - это ещё одно выражение для плотности потока излучения (если добавить значок вектора над I и с, то это как раз и будет уравнение для вектора Умова-Пойнтинга).
В общем-то, все данные известны. Можем записать конечное уравнение для давления света:
Answers & Comments
Дано:
R = 0,4 м
Р = 500 Вт
с = 3*10⁸ м/с
r = 1
p - ?
Решение:
Монохроматический источник излучает волны с определённой интенсивностью. Интенсивность волны - это фактически мощность излучения, проходящего через единицу площади:
I = (W/t)/S, где W - энергия излучения, t - время излучения, S - площадь поверхности, через которую проходит излучение.
Отношение W/t - это мощность, то есть:
I = (W/t)/S = P/S
Так как источник точечный, то плотность потока его излучения (плотность потока излучения = интенсивность волны = мощность излучения через единицу площади поверхности - это всё одно и то же) убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до источника. Это как с силой тяготения - чем выше тело над поверхностью Земли, тем слабее Земля притягивает его. Так же и здесь - чем дальше источник излучения от поверхности, тем "слабее" поток этого излучения проходит через поверхность. Математически мы можем выразить это, если представим S как площадь поверхности шара:
S = 4πR² => I = P/S = P/(4πR²) = (P/4π) * (1/R²)
Ещё один (более понятный) пример зависимости плотности потока излучения от расстояния. Зимой наша Земля находится далеко от Солнца, а летом - ближе. Расстояние от планеты до Солнца зимой больше, а летом - меньше. Поэтому плотность потока солнечного излучения зимой меньше (холодно), а летом - больше (тепло). То есть, если бы Солнце было мощным лазером, а не сферическим источником, то оно излучало бы пучком, а не во все стороны, и тогда расстояние уже не играло бы особой роли.
Далее. Свет падает нормально, то есть перпендикулярно поверхности. Значит, косинус угла падения равен 0°, то есть равен единице. Если бы световые волны падали под углом, то интенсивность I умножалась бы на cosα между нормалью к поверхности n и направлением волн I (I - это ещё и вектор Умова-Пойнтинга, то есть это уже четвёртое понятие наряду с интенсивностью волны, плотностью потока...).
Каждая зеркальная поверхность имеет коэффициент отражения. Предполагается, что зеркальная поверхность в задаче имеет 100% отражающую способность, т.е. r = 1.
Давление, оказываемое светом, найдём по формуле Максвелла:
p = ω*(1 + r), где ω - объёмная плотность энергии излучения. Объёмную плотность можно выразить так:
ω = W/V, где V = S*R => ω = W/(S*R)
Но нам неудобно будет использовать R в этом выражении (потому что в конечном уравнении будет присутствовать не мощность Р, а энергия W, которая неизвестна по условиям), поэтому заменим R на произведение скорости волны с и времени t (ведь R - это расстояние, которое фотон проходит со скоростью света за время t):
R = ct => ω = W/(Sct) = (W/t)*(1/(Sc)) = P/(Sc) = (P/S)*(1/c) = I/c
ω = Ι/с => Ι = ω*с - это ещё одно выражение для плотности потока излучения (если добавить значок вектора над I и с, то это как раз и будет уравнение для вектора Умова-Пойнтинга).
В общем-то, все данные известны. Можем записать конечное уравнение для давления света:
p = ω*(1 + r) = I/c*(1 + r) = P/(4πR²*c)*(1 + r) = P*(1 + r)/(4πR²c) = 500*(1 + 1)/(4*3,14*0,4²*3*10⁸) = 1000/(4*3,14*0,16*3*10⁸) = 10³/(4*3,14*16*3*10⁸*10^-2) = 1/(4*3,14*16*3)*10^-3 = 1,6587... *10^-6 Па = 1,7*10^-6 Па = 1,7 мкПа.
Ответ: 1,7 мкПа.
Р.S. Для записи краткого решения:
p = ω*(1 + r) - по формуле Максвелла
ω = Ι/с - из уравнения для модуля вектора Умова-Пойнтинга
Ι = W/(tS) - из уравнения интенсивности волны
W/t = P => I = P/S
S = 4πR² => I = P/(4πR²) => ω = P/(4πR²c) =>
=> p = P/(4πR²*c)*(1 + r) = P*(1 + r)/(4πR²c) = ...