Verified answer

Ответ:

599

Пошаговое объяснение:

Ищем наименьшее общее число, которое напишут Таня и Тоня.

Запишем числа, которые получаются у девочек в процессе написания.

Пусть Таня напишет х чисел до достижения равного с Тоней числа, тогда у Тани будет число 69+53х.

Пусть Тоня напишет у чисел до достижения равного с Таней числа, тогда у Тони будет число 27 + 11у.

И эти числа должны быть равны.

69+53х = 27 + 11у

53х -11у = -42

Это линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными:

ax +by = c

Мы знаем, что если у нас есть одно частное решение диофантова уравнения, то мы без труда найдем все остальные по формуле

х = х₁ + kb

y = y₁ - ka , где k - любое целое число, х₁ и y₁ - любое частное решение уравнения.

В нашем случае

53х -11у = -42

a = 53; b = -11;  c = -42

и мы легко можем определить частное решение х₁ = -1  у₁ = -1 (мы берем именно такое частное решение потому, что оно даст нам меньшие корни уравнений).

53*(-1) -11*(-1)= -42

Тогда общее решение нашего диофантова уравнения будет иметь вид:

х= -1 - 11k;

y = -1 -53k  

Положим k= -1 (это даст нам наименьшее общее число),

тогда

х = -1 -11*(-1) = -1 +11 =10;

у = -1 -53*(-1) = -1 + 53 = 52

Таким образом,

через 10 написаний чисел Таня получит 69+ 53*10=599;

через 13 написания чисел Тоня получит27+11*52 =599.

Это и есть наш ответ. Общее наименьшее число, которое получится у девочек равно 599.

ответ

число 599