ТЕМА: ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ. ТЕТРАЭДР И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД.
Вариант II
1. Прямые a и b лежат в пересекающихся плоскостях α и β. Могут ли эти прямые быть:
а) параллельными;
б) скрещивающимися?
Сделайте рисунок для каждого возможного случая.
2. Через точку О, не лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскости α и β в точках А1 и А2 соответственно, прямая m – в точках В1 и В2. Найдите длину отрезка А1В1, если А2В2 = 15 см, ОВ1 : ОВ2 = 3 : 5.
3. Изобразите тетраэдр DABC и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки M и N, являющиеся серединами ребер DC и BC, и точку K, такую, что K DA, АK : KD = 1 : 3.
кто быстрее и правильно решит тому даю 99 баллов
Вариант II
1. Прямые a и b лежат в пересекающихся плоскостях α и β. Могут ли эти прямые быть:
а) параллельными;
б) скрещивающимися?
Сделайте рисунок для каждого возможного случая.
2. Через точку О, не лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскости α и β в точках А1 и А2 соответственно, прямая m – в точках В1 и В2. Найдите длину отрезка А1В1, если А2В2 = 15 см, ОВ1 : ОВ2 = 3 : 5.
3. Изобразите тетраэдр DABC и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки M и N, являющиеся серединами ребер DC и BC, и точку K, такую, что K DA, АK : KD = 1 : 3.
кто быстрее и правильно решит тому даю 99 баллов
Answers & Comments
Verified answer
Задачи 1 и 2 решены Пользователем Ayl0901AylУченый1.Плоскости α и β пересекаются по прямой l.
а) да, могут. Любаяпрямая a, проведенная в плоскости α и параллельная прямой l (онасуществует, т.к. прямая l лежит в плоскости α) будет параллельна любойпрямой b, проведенной в плоскости β и параллельной прямой l (онасуществует, т.к. прямая l лежит в плоскости β).
б). да, могут.Возьмем прямую a, лежащую в плоскости α и не параллельную прямой l. Онапересекает прямую l в точке A (обе прямые лежат в одной плоскости α и непараллельны ⇒ имеют ровно одну точку пересечения).
Возьмем на прямойl отличную от A точку B. Точка B лежит в плоскости β, т.к. в этойплоскости лежит вся прямая l. Проведем через точку B в плоскости β любуюпрямую b, не совпадающую с l.
Прямые a и b - скрещивающиеся, т.к.они не пересекаются (точки A и B различны, а вне прямой l прямые изплоскостей α и β пересекаться не могут) и не являются параллельными(т.к. плоскости α и β не параллельны, а прямые a и b не параллельныпрямой l по построению).
2. A₁B₁=9 см.
Решение.
Прямые l и m пересекаются в точке O по условию. Значит, они определяют плоскость γ, в которой обе и расположены.
Плоскость γпересекает плоскость α по прямой s. Точка A₁, принадлежащая прямой l,также принадлежат и плоскости γ. Но она же принадлежит и плоскости α,т.к. является точкой пересечения прямой l и плоскости α. Значит, точкаA₁ принадлежит обеим плоскостям, а значит, и прямой s. Аналогично, точкаB₁ принадлежит прямой s. Значит, весь отрезок A₁B₁ принадлежит прямойs, т.е. полностью лежит в плоскости γ.
Аналогично, отрезок A₂B₂ полностью принадлежит плоскости γ и прямой t - прямой, являющейся пересечением плоскостей β и γ.
Болеетого, т.к. плоскости α и β параллельны, то секущая их плоскость γформирует 2 параллельные прямые пересечения s и t. Значит, отрезки A₁B₁ иA₂B₂ параллельны.
Все 5 точек лежат в плоскости γ и в дальнейшем можно перейти к решению в одной плоскости, т.е. к планиметрической задаче.
Задача:
Втреугольнике A₂OB₂ через точки A₁ и B₁ на сторонах OA₂ и OB₂соответственно, проведен отрезок A₁B₁, параллельный основаниютреугольника A₂B₂. Определить его длину, если заданы соотношения (см.исходные условия).
Решение:
Треугольники A₂OB₂ и A₁OB₁ являются подобными.
Значит, коэффициент подобия будет равен отношению длин сторон OB₁ и OB₂. Это соотношение задано: 3:5.
Значит, все остальные стороны соотносятся также. Т.е. A₁B₁:A₂B₂=3:5.
Отсюда A₁B₁=3/5A₂B₂.
A₂B₂=15 ⇒ A₁B₁=3/5*15=9 (см).
3. Точки M и N лежат в одной плоскости DBC. Соединяем их, MN - отрезок сечения.
Точки М и К лежат в одной плоскости ACD. Соединяем их, МК - отрезок сечения.
Найдем точку пересечения прямой КМ с плоскостью АВС. КМ лежит в плоскости ACD, Плоскость ACD пересекается с плоскостью АВС по прямой АС. Значит, точка пересечения КМ и АВС лежит на прямой АС. Это точка О.
Прямая ОN пересекает ребро АВ в точке L.
KMNL - искомое сечение.