Verified answer

Дана функция f(x)=-x³-3x²+1.

1.  Область определения функции - вся числовая ось: D(f) = R.

2. Функция f (x) = -x^3-3x^2+1  непрерывна на всей области определения.  Точек разрыва функции нет.

Область значений функции у ∈ (-∞; +∞).

3. Точка пересечения графика функции с осью координат Оу:  

График пересекает ось Оу, когда x равняется 0: подставляем x=0 в -x³-3x²+1.

у= -0³-3*0²+1= 1,

Результат: y=1. Точка: (0; 1).

4. Точки пересечения графика функции с осью координат X:  

График функции пересекает ось Ох при y = 0, значит, нам надо решить уравнение:    -x^3 - 3x^2 + 1 = 0.

 Для вычисления корней данного кубического уравнения используются формулы Кардано для кубического уравнения вида x³ - ax² + bx + c = 0.

Исходное уравнение приводится к виду: y³ + py + q = 0 с помощью подстановки х = у – (а/3). Для данного уравнения а = 3, b = 0, c = -1.

Вычисляем   Q = (a²- 3b)/9 = 1

                       R=(2a³ - 9ab + 27c)/54 = 0,5

Вычисляем  S = Q³ - R² = 0,75

a) Если S>0, то вычисляем  

φ=(arccos(R/Q3/2))/3 = 0,5

И наше уравнение имеет 3 корня (вещественных):  

x1= - 2(Q)1/2cos(φ) - a/3 = -2,879385242

x2= - 2(Q)1/2cos(φ+2π/3) - a/3 = 0,532088886

x3= - 2(Q)1/2cos(φ-2π/3) - a/3 = -0,652703645

Результат: y=0. Точки: (-2,8794; 0), ( 0,532; 0) и  ( -0,6527; 0).

5. Экстремумы функции:  

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:  

y' = -3x² – 6х = 0

Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:  

-3x(х+2) = 0,

х1 = 0,  х2  = -2.

Результат: y’=0. Точки: (0; 1) и (-2; -3).

6. Интервалы возрастания и убывания функции:  

Найдем интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции.

Находится производная, приравнивается к 0, найденные точки выставляются на числовой прямой; к ним добавляются те точки, в которых производная не определена. На промежутках находят знаки производной.  

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

х = -3 -2 -1 0 1

y' = -9 0 3 0 -9

Минимум функции в точке: х = -2,  

Максимум функции в точке: х = 0.

Возрастает на промежутке: (-2; 0).  

Убывает на промежутках: (-∞; -2) U (0; ∞).

7. Точки перегибов графика функции:  

Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции, + нужно подсчитать пределы y'' при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности функции:  

y''=-6x – 6 = 0.

Решаем это уравнение и его корни будут точками, где у графика перегибы:  

-6x – 6 = 0.

     x=6/(-6)= -1. Точка: (-1; 0)

8. Интервалы выпуклости, вогнутости:  

Найдем интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках изгибов :  

Вогнутая на промежутках: (-∞; -1).

Выпуклая на промежутках: (-1; ∞).  

9. Вертикальные асимптоты – нет.  

Горизонтальные асимптоты графика функции:  

Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной функции при x->+oo и x->-oo. Соотвествующие пределы находим:  

lim 1-3x²-x³, x->+∞ = ∞, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует

lim 1-3x²-x³, x->-∞ = -∞, значит, горизонтальной асимптоты слева не существует

Наклонные асимптоты графика функции:  

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при  

Находим коэффициент k:

 k=lim┬(n→∞)⁡〖(-x^3-3x^2+1)/x=-∞.〗

Поскольку коэффициент k равен бесконечности, наклонных асимптот не существует.

10. Четность и нечетность функции:  

Проверим функцию - чётна или нечётна - с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).

Итак, проверяем:

y(-x) = -(-x)³ – 3(-x)² + 1 = x³ - 3x² + 1 ≠ y(x)

-y(-x) = -(-(-x)³ – 3(-x)² + 1) = -x³ + 3x² - 1  = -(х³-3х²+1) ≠ y(x)

Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.

11. Таблица точек

 x y

-3.0 1

-2.8 -0.57

-2.6 -1.7

-2.4 -2.46

-2.2 -2.87

-2.0 -3

-1.8 -2.89

-1.6 -2.58

-1.4 -2.14

-1.2 -1.59

-1.0 -1

-0.8 -0.41

-0.6 0.14

-0.4 0.58

-0.2 0.89

0 1

0.2 0.87

0.4 0.46

0.6 -0.3

0.8 -1.43

1.0 -3