Verified answer

Ответ:

x₀ (x₀ + 1)= 30

Объяснение:

Если х₀ корень уравнения

[tex]\displaystyle \bf \sqrt[3]{6+\sqrt{x-1} } +\sqrt[3]{3-\sqrt{x-1} } =3[/tex]

то х₀(х₀ + 1) равно ?

Замена:

[tex]\displaystyle \sqrt{x-1}=t,\;\;\;\bf t\geq 0[/tex]

[tex]\displaystyle \sqrt[3]{6+t} +\sqrt[3]{3-t} =3[/tex]

Перенесем второе слагаемое вправо и возведем в куб обе части:

[tex]\displaystyle \sqrt[3]{6+t} =3-\sqrt[3]{3-t} \\\\6 +t=27-3\cdot 9\sqrt[3]{3-t} +3\cdot 3\sqrt[3]{(3-t)^2} -3+t\\\\9\sqrt[3]{(3-t)^2}-27\sqrt[3]{3-t}+18=0\;\;\;\;\;|:9\\ \\ \sqrt[3]{(3-t)^2}-3\sqrt[3]{3-t}+2=0[/tex]

Еще одна замена:

[tex]\displaystyle \sqrt[3]{3-t}=y[/tex]

Получим уравнение:

[tex]\displaystyle y^2-3y+2=0[/tex]

По теореме Виета:

[tex]\displaystyle y_1=2;\;\;\;\;\;y_2=1[/tex]

Обратная замена:

[tex]\displaystyle \sqrt[3]{3-t}=2\\ \\ 3-t=8\\\\t=-5[/tex]                    [tex]\displaystyle \sqrt[3]{3-t}=1\\ \\ 3-t=1\\\\t=2[/tex]

t = -5 - посторонний корень (t ≥ 0)

⇒  t = 2

Вторая обратная замена:

[tex]\displaystyle \sqrt{x-1}=2\\ \\x-1=4\\\\x=5[/tex]

⇒ x₀ (x₀ + 1) = 5 · 6 = 30