Ответ:

[tex]7+4\sqrt{3}.[/tex]

Пошаговое объяснение:

[tex]\log_x(2+\sqrt{3})=\log_{x+6}(1+2\sqrt{3}).[/tex] ОДЗ: x>0; x≠1.

[tex]2\log_x(2+\sqrt{3})=2\log_{x+6}(1+2\sqrt{3});\ \log_x(2+\sqrt{3})^2=\log_{x+6}(1+2\sqrt{3})^2;[/tex]

[tex]\log_x(7+4\sqrt{3})=\log_{x+6}(13+4\sqrt{3});\ \log_x(7+4\sqrt{3})=\log_{x+6}\left((7+4\sqrt{3})+6\right);[/tex]

решение [tex]x=7+4\sqrt{3}[/tex]  очевидно; докажем, что других решений нет. Обозначим для простоты

             [tex]7+4\sqrt{3}=a > 1; 6=b > 0;\ \log_xa=\log_{x+b}(a+b);[/tex]

[tex]\dfrac{1}{\log_ax}=\dfrac{1}{\log_{a+b}(x+b)};\ \log_ax=\log_{a+b}(x+b).[/tex]

Рассмотрим функцию [tex]y=\log_ax-\log_{a+b}(x+b)[/tex] и докажем её монотонность:    

[tex]y'=\dfrac{1}{x\ln a}-\dfrac{1}{(x+b)\ln(a+b)}=\dfrac{(x+b)\ln(a+b)-x\ln a}{x(x+b)\ln a\ln(a+b)}.[/tex]

Поскольку a+b>a>1⇒ ln(a+b)>ln a>0. Кроме того, x+b>x>0, поэтому

(x+b)ln(a+b)-xln a>0⇒ [tex]y' > 0\Rightarrow[/tex] монотонность доказана. Поэтому найденное решение единственное.