Verified answer

Ответ:

Площадь фигуры, ограниченную графиком функции [tex]\displaystyle \bf y=\frac{1}{2}x^3[/tex] и прямой y=2​x равна 4 ед.².

Пошаговое объяснение:

Найдите площадь фигуры, ограниченную графиком функции [tex]\displaystyle \bf y=\frac{1}{2}x^3[/tex] и прямой y=2​x.

В начале определимся с площадью.

[tex]\displaystyle \bf y=\frac{1}{2}x^3[/tex] - кубическая парабола.

у = 2х - линейная функция, график - прямая.

Найдем абсциссы точек пересечения этих функций:

[tex]\displaystyle \bf \left \{ {{y=\frac{1}{2} x^3} \atop {y=2x}} \right. \\\\\frac{1}{2}x^3=2x\\\\\frac{1}{2} x(x^2- 4)=0\\\\\frac{1}{2} x(x- 2)(x+2)=0\\\\x_1 = 0;\;\;\;\;\;x_2=-2;\;\;\;\;x_3=2[/tex]

Получили две равные площади.

Найдем одну площадь (верхнюю), затем умножим на два.

Формула площади фигуры, ограниченной линиями:

[tex]\boxed {\displaystyle \bf S=\int\limits^b_a {((f_2(x)-f_1(x))} \, dx }[/tex]

Формула Ньютона - Лейбница:

[tex]\boxed {\displaystyle \bf \int\limits^b_a {f(x)} \, dx =F(b)-F(a)}[/tex]

У нас f₂(x) = 2х (сверху); f₁(x) = (1/2) х³  (снизу); b = 2 (справа); а = 0 (слева)

 [tex]\displaystyle S=\int\limits^2_0 {(2x-\frac{1}{2}x^3 )} \, dx =\left(2\cdot\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{x^4}{4}\right) \bigg|^2_0=\\\\=\left(x^2-\frac{x^4}{8}\right) \bigg|^2_0=4-2-0=2[/tex]     (ед.²)      

⇒ Искомая площадь будет равна 2 · 2 = 4(ед.²)