Відповідь:

не має розв'язків. (можна найкращу відповідь, будь ласка?)

Пояснення:

Для розв'язання цього рівняння скористаємося формулою тригонометрії:

[tex]sin^{2}(x) + cos^{2}(x) = 1[/tex]

Тоді ми можемо переписати рівняння таким чином:

[tex]6sin^{2}(\frac{x}{2}) + 8cos^{2}(\frac{x}{2}) - 7sin(\frac{x}{2}) = 0[/tex]

Тепер застосуємо формулу:

[tex]cos^{2}(x) = 1 - sin^{2}(x)[/tex]

І отримаємо:

[tex]6sin^{2}(\frac{x}{2}) + 8(1 - sin^{2}(\frac{x}{2})) - 7sin(\frac{x}{2}) = 0[/tex]

Розкриваємо дужки та спрощуємо:

[tex]14sin^{2}(\frac{x}{2}) - 7sin(\frac{x}{2}) + 8 = 0[/tex]

Тепер вводимо нову змінну [tex]y = sin(\frac{x}{2})[/tex], тоді рівняння буде мати вигляд:

[tex]14y^{2} - 7y + 8 = 0[/tex]

Розв'язуємо це квадратне рівняння за допомогою формули:

[tex]y=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}[/tex]

де [tex]a = 14[/tex], [tex]b = -7[/tex], [tex]c = 8[/tex]:

[tex]y=\frac{7\pm\sqrt{(-7)^{2}-4\cdot14\cdot8}}{2\cdot14}[/tex]

[tex]y=\frac{7\pm\sqrt{49-448}}{28}[/tex]

Оскільки дискримінант менше нуля, рівняння не має розв'язків.

Отже, вихідне рівняння [tex]6sin ({ \frac{x}{2} })^{2} - 7sin + 8cos ({ \frac{x}{2} })^{2} = 0[/tex] не має розв'язків.