Ответ:

a≤1⇒решений нет; a> 1⇒    [tex]x\in\left[0;\dfrac{(a-1)^2}{4}\right).[/tex]

Объяснение:

Левая часть неравенства неотрицательна, поэтому при a≤0 решений нет.

Пусть a>0. Рассмотрим функцию [tex]f(x)=\sqrt{x+a}+\sqrt{x}.[/tex] Это возрастающая функция на своей области определения [tex]x\in [0;+\infty).[/tex]

Если [tex]a\in(0;1],[/tex]  [tex]f(0)=\sqrt{a} \ge a,[/tex] а тогда в силу возрастания f(x)≥a на области определения, поэтому при таких a решений нет.

Пусть a>1. В этом случае [tex]f(0)=\sqrt{a} < a,[/tex] и нам нужно поймать момент, когда f(x) станет равен a. Итак, решаем уравнение [tex]\sqrt{x+a}+\sqrt{x}=a.[/tex]

Обозначим [tex]\sqrt{x+a}=p > 0; \ \sqrt{x}=q\ge 0.[/tex]  Поскольку p²-q²=a, уравнение равносильно системе [tex]\left \{ {{p+q=a} \atop {p^2-q^2=a}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{p+q=a} \atop {(p-q)(p+q)=a}} \right.\Leftrightarrow \left \{ {{p+q=a} \atop {p-q=1}} \right.\Leftrightarrow \left \{ {{p=\frac{a+1}{2}} \atop {q=\frac{a-1}{2}}} \right.\Leftrightarrow \left \{ {{\sqrt{x+a}=\frac{a+1}{2}} \atop {\sqrt{x}=\frac{a-1}{2}}} \right.\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \left \{ {{x+a=\frac{(a+1)^2}{4}} \atop {x=\frac{(a-1)^2}{4}}} \right.\Leftrightarrow x=\dfrac{(a-1)^2}{4}.[/tex] Напомним еще раз, что функция f(x) возрастающая, поэтому слева от найденной точки функция меньше a, справа - больше a. Не забываем и про область определения.