Ответ:

x = 10

Объяснение:

Заметим, что в данном случае корень из произведения можно заменить на произведение корней:

[tex]2\sqrt{x^2+5x-6}=2\sqrt{(x+6)(x-1)}=2\sqrt{x+6}\sqrt{x-1}[/tex]

В такой форме это похоже на удвоенное произведение. Сделаем из него квадрат суммы, прибавив в обе части уравнения [tex]\left(\sqrt{x+6}\right)^2+\left(\sqrt{x-1}\right)^2=2x+5[/tex]:

[tex]\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}\right)^2=56[/tex]

Сделаем замену переменной [tex]\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}=t\geqslant 0[/tex], получим квадратное уравнение относительно t:

[tex]t+t^2=56\\t^2+t-56=0[/tex]

Корни этого уравнения t = -8 и t = 7, подходит только последний — сумма двух корней не может равняться отрицательному числу.

[tex]\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}=7[/tex]

Функция в левой части уравнения возрастает, так что у уравнения есть не более одного корня. Легко убедиться, что x = 10 обращает равенство в верное.

Можно решить и "по-честному": перенесем один из корней в правую часть и возведём в квадрат

[tex]\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}=7\\\sqrt{x+6}=7-\sqrt{x-1}\\\begin{cases}x+6=49-14\sqrt{x-1}+x-1\\7-\sqrt{x-1}\geqslant 0\end{cases}\quad \begin{cases}14\sqrt{x-1}=42\\\sqrt{x-1}\leqslant 7\end{cases}[/tex]

(неравенство нужно для того, чтобы не потерять равносильность преобразований. Можно обойтись и без него, но тогда нужно будет проверить найденные корни подстановкой)

Поделив уравнение на 14 заключаем, что корень из x - 1 равен 3 (при этом неравенство выполнено, его дальше тянуть не надо)

[tex]\sqrt{x-1}=3\\x-1=9\\x=10[/tex]