Объяснение:

немного преобразований

[tex]2^{x} +5\frac{4}{2^{x} } \leq 12\\[/tex]

замена

[tex]t=2^{x}[/tex]

[tex]t+5\frac{4}{t} \leq 12\\t^{2} +20-12t\leq 0\\t1=10\\t2=2\\[/tex]

на координатной прямой выйдет такое неравенство

[tex]\left \{ {{t\leq 10} \atop {t \geq 2}} \right.[/tex]

отсюда

[tex]\left \{ {{x\leq log_{2} 10} \atop {x\geq 1}} \right.[/tex]

x∈[1;log2 10]

Verified answer

Ответ:

[tex]\displaystyle 1\leq x\leq 1+log_{2}5[/tex]

Объяснение:

[tex]\displaystyle 2^x+5*2^{2-x}\leq 12[/tex]

[tex]\displaystyle 2^x+5*2^{2}:2^x\leq 12[/tex]

[tex]\displaystyle 2^x+\frac{5*4}{2^x} \leq 12[/tex]

[tex]\displaystyle 2^x+\frac{20}{2^x} \leq 12[/tex]

Пусть 2^x = t, t>0, тогда

[tex]\displaystyle t+\frac{20}{t} \leq 12|*t[/tex]

[tex]\displaystyle t^2-12t+20\leq 0[/tex]

(Т.к. при замене мы поставили условие t>0, то знак не меняется)

Для нахождения корней приравняем наше выражение к нулю  

[tex]\displaystyle t^2-12t+20= 0[/tex]

[tex]\displaystyle D = (-12)^2-4*1*20 = 144-80 = 64=8^2[/tex]

[tex]\displaystyle t_{1}=\frac{12+8}{2*1}=\frac{20}{2}=10[/tex]

[tex]\displaystyle t_{1}=\frac{12-8}{2*1}=\frac{4}{2}=2[/tex]

Разместим данные точки на координатной прямой: (см. вложение)

Получается решением неравенства [tex]\displaystyle t^2-12t+20\leq 0[/tex] является t∈[2;10]

Вернемся к замене:

Если 2 ≤ t ≤ 10, то [tex]\displaystyle 2\leq 2^x\leq 10 < = > 2^1\leq 2^x\leq 2^{log_{2}10 }[/tex]

Т.к. основание больше единицы, то мы знаки не меняем, т.е.

[tex]\displaystyle 1\leq x\leq log_{2}10[/tex]

[tex]\displaystyle 1\leq x\leq log_{2}(2*5)[/tex]

[tex]\displaystyle 1\leq x\leq log_{2}2+log_{2}5[/tex]

[tex]\displaystyle 1\leq x\leq 1+log_{2}5[/tex]