Verified answer

Ответ:

[tex]1)\ \ (\sqrt[6]{49+20\sqrt6}+\sqrt[3]{5+2\sqrt6}\ )\cdot \sqrt[3]{5-2\sqrt6}=\\\\\\= (\sqrt[6]{(5+2\sqrt6)^2}+\sqrt[3]{5+2\sqrt6}\ )\cdot \sqrt[3]{5-2\sqrt6}=\\\\\\=(\sqrt[3]{5+2\sqrt6}+\sqrt[3]{5+2\sqrt6}\ )\cdot \sqrt[3]{5-2\sqrt6}=\\\\\\=2\cdot \sqrt[3]{5+2\sqrt6}\cdot \sqrt[3]{5-2\sqrt6}=2\cdot \sqrt[3]{(5+2\sqrt6)(5-2\sqrt6)}=\\\\\\=2\cdot \sqrt[3]{5^2-(2\sqrt6)^2}=2\cdot \sqrt[3]{25-4\cdot 6}=2\cdot \sqrt[3]{1}=2[/tex]  

 Аналогичный пример:   [tex](\sqrt[6]{135+54\sqrt6}+\sqrt[3]{9+3\sqrt6}\, )\cdot \sqrt[3]{9-3\sqrt6}=6[/tex] .    

[tex]2)\ \ \sqrt[3]{2+\sqrt5}+\sqrt[3]{2-\sqrt5}=A[/tex]  

Обозначим сумму буквой А и возведём её в третью степень ,

воспользовавшись формулой  [tex](a+b)^3=a^3+b^3+3ab\, (a+b)[/tex]  .

[tex]A^3=(\sqrt[3]{2+\sqrt5}+\sqrt[3]{2-\sqrt5})^3=\\\\=(2+\sqrt5)+(2-\sqrt5)+3\sqrt[3]{(2+\sqrt5)(2-\sqrt5)}\cdot (\sqrt[3]{2+\sqrt5}+\sqrt[3]{2-\sqrt5})=\\\\=4+3\sqrt[3]{4-5}\cdot A=4-3\cdot A\ \ \ \Rightarrow \ \ \ A^3+3A-4=0[/tex]  

Сразу понятно, что действительным корнем является число А=1 , так как  [tex]1^3+3\cdot 1-4=1+3-4=0[/tex]  .

Можно это выражение разложить на множители:

[tex]A^3+3A-4=(A-1)(A^2+A+4)[/tex]  ,  причём  квадратный трёхчлен [tex]A^2+A+4[/tex]  имеет дискриминант  [tex]D=1-16=-15 < 0[/tex]  . Значит действительных корней этот квадр. трёхчлен не имеет.

Следовательно и   [tex]A^3+3A+4[/tex]  не имеет других действительных корней , кроме 1 .

Ответ:   [tex]\sqrt[3]{2+\sqrt5}+\sqrt[3]{2-\sqrt5}=1[/tex]  .  

   Аналогичный пример:   [tex]\sqrt[3]{7-\sqrt{50}}+\sqrt[3]{7-\sqrt{50}}=2[/tex]  .

[tex]3)\ \ \sqrt[4]{28-16\sqrt3}-\sqrt3=\sqrt[4]{(4-2\sqrt3)^2}-\sqrt3=\sqrt{4-2\sqrt3}-\sqrt3=\\\\=\sqrt{(1-\sqrt3)^2}-\sqrt3=|\underbrace{\, 1-\sqrt3\, }_{ < 0}|-\sqrt3=(\sqrt3-1)-\sqrt3=-1[/tex]  

    Аналогичный пример:  

  [tex]\sqrt[4]{56+24\sqrt5}-\sqrt5=\sqrt[4]{(6+2\sqrt5)^2} -\sqrt5=\sqrt{6+2\sqrt5}-\sqrt5=\\\\=\sqrt{(1-\sqrt5)^2}-\sqrt5=|\underbrace{1-\sqrt5}_{ < 0}|-\sqrt5=\sqrt5-1-\sqrt5=-1[/tex]