Дано уравнение -2x² + 4y² + 4x + 8y + 1 = 0.

Выделим полные квадраты.

(-2x² + 4x - 2) + 2 + (4y² + 8y + 4) - 4 + 1 = 0.

-2(x² - 2*1x + 1) + 2 + 4(y² + 2*1y + 1) - 4 + 1 = 0.

-2(x – 1)² + 4(y + 1)² = 1.

(-(x – 1)²/(1/√2)²) + ((y + 1)²/(1/2)²) = 1.

Получено уравнение гиперболы с центром (1; -1) и повёрнутой на 90 градусов так, что её главная ось параллельна оси Оу.