Ответ:

Полный дифференциал функции нескольких переменных:

[tex]\displaystyle z=y^4+\frac{y}{x}[/tex]  равен

[tex]\displaystyle dz=-\frac{y}{x^2}dx+\left(4y^3+\frac{1}{x}\right) dy[/tex]

Пошаговое объяснение:

Найти полный дифференциал функции нескольких переменных:

[tex]\displaystyle z=y^4+\frac{y}{x}[/tex]

Полный дифференциал найдем по формуле:

[tex]\displaystyle \boxed {dz=\frac{\partial {z}}{\partial {x}}dx+\frac{\partial {z}}{\partial {y}}dy }\\\\[/tex]

Найдем частные производные:

1. Найдем  [tex]\displaystyle \frac{\partial {z}}{\partial {x}}[/tex] ,считаем у постоянным числом:

[tex]\displaystyle \frac{\partial {z}}{\partial {x}} =\left(y^4+\frac{y}{x}\right)'_x=0+y\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right) =\\\\=-\frac{y}{x^2}[/tex]

2. Найдем  [tex]\displaystyle \frac{\partial {z}}{\partial {y}}[/tex] ,считаем x постоянным числом:

[tex]\displaystyle \frac{\partial {z}}{\partial {y}} =\left(y^4+\frac{y}{x}\right)'_y=4y^3+\frac{1}{x}[/tex]

3. Найдем полный дифференциал, подставив найденные значения в формулу:

[tex]\displaystyle dz=-\frac{y}{x^2}dx+\left(4y^3+\frac{1}{x}\right) dy[/tex]

#SPJ1