Всё, кроме последнего (не до конца).

Первое

[tex]5^{x^2-5x-14}=1\\5^{x^2-5x-14}=5^0[/tex]

По монотонности показательной функции:

[tex]x^2-5x-14=0\\D=25+4 \cdot 14=25+56=81\\\sqrt{D}=9\\x_1=\dfrac{5+9}{2}=7; \qquad x_2=\dfrac{5-9}{2}=-2[/tex]

Второе

[tex]2^x=128\\2^x=2^7\\[/tex]

По монотонности показательной функции:

[tex]x=7[/tex]

Третье

[tex]3^{5x+1}=3^{2x}[/tex]

По монотонности показательной функции:

[tex]5x+1=2x\\3x=-1\\x=-\dfrac 13[/tex]

Четвёртое

[tex]4^x=8[/tex]

По определению логарифма:

[tex]x=\log_48=\log_{2^2}2^3=\dfrac{3}{2}\log_2 2=\dfrac 32[/tex]

Пятое

[tex]\left(\dfrac 32 \right)^{1-2x}=\left(\dfrac{8}{27}\right)^{x+3}=\left(\dfrac{2^3}{3^3}\right)^{x+3}=\left(\dfrac 23 \right)^{3x+9}=\left(\dfrac 32 \right)^{-3x-9}[/tex]

По монотонности показательной функции:

[tex]1-2x=-3x-9\\x=-10[/tex]

Шестое

[tex](10^{x-5})^{x-6}=100\\10^{(x-5)(x-6)}=10^2[/tex]

По монотонности показательной функции:

[tex]x^2-5x-6x+30=2\\x^2-11x+28=0\\D=11^2-4 \cdot 28=121-112=9\\x_1=\dfrac{11+3}{2}=7; \qquad x_2=\dfrac{11-3}{2}=4[/tex]

Седьмое

[tex]\left(\dfrac 45 \right)^x \cdot \left(\dfrac{35}{12}\right)^x=\dfrac{9}{49}\\\left(\dfrac 45 \cdot \dfrac{35}{12}\right)^x=\dfrac{3^2}{7^2}\\\left(\dfrac 73 \right)^x=\left(\dfrac 37 \right)^2\\\left(\dfrac 73 \right)^x=\left(\dfrac 73 \right)^{-2}\\[/tex]

По монотонности показательной функции:

[tex]x=-2[/tex]

Восьмое

[tex]3^{4x-x^2}=17^{4x-x^2}\\[/tex]

Равенство будет выполняться, если в знаменателе будет ноль (потому что любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно единице):

[tex]4x-x^2=0\\x(4-x)=0\\x_1=0 \qquad x_2=4[/tex]

Как доказать, что других корней нет, я не помню. Через анализ функции [tex]f(x)=3^{4x-x^2}-17^{4x-x^2}[/tex] с помощью производной.