Verified answer

Ответ:

При наибольшем a = 1,5 уравнение имеет корни.

Объяснение.

Решить уравнение:

sin⁴x + cos⁴ + sin2x = a.
В ответ записать наибольшее значение а, при котором уравнение имеет корни​.

Преобразуем левую часть уравнения.

Прибавим и отнимем выражение

2sin²x·cos²x,

и воспользуемся формулами:
- синус двойного угла: 2sinx·cosx = sin 2x;
- основное тригонометрическое тождество: sin²x + cos²x = 1.

Тогда:

[tex]\displaystyle sin^{4}x+cos^{4}x+sin 2x =\\\\\displaystyle (sin^{2}x)^{2}+(cos^{2}x)^{2}+ 2sin^{2}x\cdot cos^{2}x- 2sin^{2}x\cdot cos^{2}x+sin 2x=\\\\=\displaystyle (sin^{2}x+cos^{2}x)^{2}- 2sin^{2}x\cdot cos^{2}x+sin 2x=\\\\=1-\frac{4}{2}sin^{2}x\cdot cos^{2}x+sin 2x=\\\\= 1 - 0,5sin^{2}2x+sin2x[/tex]

Получим следующее квадратное уравнение относительно sin2x.

[tex]\displaystyle -0,5sin^{2}2x + sin 2x +1=a \;\;|\cdot (-2);\\\\\displaystyle sin^{2}2x-2sin 2x +2a-2=0;[/tex]

Обозначим t = sin 2x;  | t |≤1;

t² - 2t + 2a - 2 = 0;

Квадратное уравнение имеет хотя бы один корень, если его дискриминант неотрицателен

D ≥ 0;

D = b² - 4ac;

D = 4 - 4 · 1 · (2a - 2) = 4 - 8a + 8 = 12 - 8a

Полученное уравнение имеет корни, если

12 - 8a ≥  0;  a ≤ 1,5

Наибольшее значение a, при котором уравнение имеет корни a = 1,5.

Тогда, при a = 1,5

D = 12 - 8 · 1,5 = 12 - 12 = 0;

[tex]\displaystyle t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{2\pm 0}{2}=1;[/tex]

sin2x = 1;

[tex]\displaystyle 2x = \frac{\pi}{2}+2\pi n,\;\; n \in Z;\\\\x = \frac{\pi}{4}+ \pi n,\;\; n \in Z.[/tex]

================

Общее решение уравнения

t² - 2t + 2a - 2 = 0;

где  t = sin 2x;  | t |≤1; при a ≤ 1,5.

[tex]\displaystyle t=\frac{2\pm\sqrt{12-8a} }{2} ;\\\\t=\frac{2\pm2\sqrt{3-2a} }{2} =1\pm\sqrt{3-2a} ;[/tex]

Так как [tex]\displaystyle 1+\sqrt{3-2a} > 1[/tex], то данное значение t не является корнем уравнения при a < 1,5.

Корнем уравнения является

[tex]\displaystyle t=1-\sqrt{3-2a};[/tex]

при -0,5 ≤ a ≤ 1,5 (так как  -1 ≤ t ≤ 1)

[tex]\displaystyle sin 2x = 1-\sqrt{3-2a};\\\\2x=(-1)^{k}arcsin( 1-\sqrt{3-2a})+\pi k, \;\;k\in Z;\\\\x=(-1)^{k}\cdot \frac{1}{2} \cdot arcsin( 1-\sqrt{3-2a})+\frac{\pi k}{2} , \;\;k\in Z;[/tex]

при -0,5 ≤ a ≤ 1,5.