[tex]\sf \displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}} \geq 2 \ \ \ \ \ |\cdot\sqrt{ab} \\ \\ \\ \sqrt{a^2}+\sqrt{b^2} \geq 2\sqrt{ab} \\ \\ |a|+|b| \geq 2\sqrt{ab}[/tex]

a и b положительны по условию. Можно убрать модули.

[tex]\sf \displaystyle a+b \geq2\sqrt{ab} \\ \\ \frac{a+b}{2} \geq\sqrt{ab}[/tex]

Пришли к неравенству между средними. Чтд.