Найти значение выражения (cos(2π/15) + cos (4π/15)) - (cos(7π/15)+cos(π/15)).

Ответ:

0,5 либо 1/2.

Формула:

[tex]\LARGE \boldsymbol {} \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin\frac{\alpha +\beta }{2} \sin\frac{\alpha -\beta }{2}[/tex]

Пошаговое объяснение:

[tex]\LARGE \boldsymbol {} \left(\cos\frac{2\pi }{15} +\cos\frac{4\pi }{15}\right)-\left(\cos\frac{7\pi }{15} +\cos\frac{\pi }{15}\right)[/tex]

Раскрываем скобки:

[tex]\LARGE \boldsymbol {} \cos\frac{2\pi }{15} +\cos\frac{4\pi }{15}-\cos\frac{7\pi }{15} -\cos\frac{\pi }{15}[/tex]

Поменяем порядок слагаемых/вычитаемых следующим образом:

[tex]\LARGE \boldsymbol {} \left(\cos\frac{2\pi }{15} -\cos\frac{7\pi }{15}\right)+\left(\cos\frac{4\pi }{15}-\cos\frac{\pi }{15}\right)[/tex]

Применяем вышеуказанную формулу разности косинусов в обеих скобках:

[tex]\Large \boldsymbol {} \left(-2\sin\frac{\frac{2\pi }{15} +\frac{7\pi }{15} }{2} \sin\frac{\frac{2\pi }{15} -\frac{7\pi }{15} }{2}\right)+\left(-2\sin\frac{\frac{4\pi }{15} +\frac{\pi }{15} }{2} \sin\frac{\frac{4\pi }{15} -\frac{\pi }{15} }{2}\right)=\\\\=-2\sin\frac{\frac{9\pi }{15} }{2} \sin\frac{-\frac{5\pi }{15} }{2}-2\sin\frac{\frac{5\pi }{15} }{2} \sin\frac{\frac{3\pi }{15} }{2}=-2\sin\frac{9\pi }{15*2}*[/tex]

[tex]\Large \boldsymbol {} *\ \sin(-\frac{5\pi }{15*2} )-2\sin\frac{5\pi }{15*2}\sin\frac{3\pi }{15*2} =-2\sin\frac{\not9\pi }{\not30} \sin(-\frac{\not5\pi }{\not30})-\\\\-2\sin\frac{\not5\pi }{\not30} \sin\frac{\not3\pi }{\not30} =-2\sin\frac{3\pi }{10} \sin(-\frac{\pi }{6} )-2\sin\frac{\pi }{6} \sin \frac{\pi }{10}[/tex]

sin -a = - sin a; sin (π/6) = 1/2. Подставляем:

[tex]\LARGE \boldsymbol {} -2\sin\frac{3\pi }{10} *(-\frac{1}{2}) -2\sin \frac{\pi }{10} *\frac{1}{2} =\frac{1}{\not2} *\not2\sin\frac{3\pi }{10} +\\\\+\frac{1}{\not2}\ *(-\not2\sin\frac{\pi }{10} )=\sin\frac{3\pi }{10} -\sin\frac{\pi }{10}[/tex]

Переводим радианы в градусы:

[tex]\Large \boldsymbol {}\sin\frac{3\pi }{10} -\sin\frac{\pi }{10}=\sin\left(\frac{3\not\pi }{\not10} *\frac{\not180}{\not\pi } \right)-\sin\left(\frac{\not\pi }{\not10} *\frac{\not180}{\not\pi } \right)=\\\\=\sin\frac{3*18}{1} -\sin\frac{18}{1} =\sin 54^\circ-\sin18^\circ\\\\\sin54^\circ\approx0.809\\\\\sin18^\circ \approx 0.309\\\\\sin 54^\circ-\sin18^\circ \approx 0.809-0.309 \approx0.5[/tex]

Verified answer

Ответ:

0,5

Пошаговое объяснение:

во вложении