Формула квадрата разности:

[tex](a-b)^2=a^2-2ab+b^2[/tex]

Свойство квадратного корня:

[tex]\sqrt{a^2} =|a|[/tex]

Преобразуем выражение:

[tex]\sqrt{\sqrt{19}-\sqrt{3-8\sqrt{35-8\sqrt{19}}}}=[/tex]

[tex]=\sqrt{\sqrt{19}-\sqrt{3-8\sqrt{19-2\cdot\sqrt{19}\cdot4+16}}}=[/tex]

[tex]=\sqrt{\sqrt{19}-\sqrt{3-8\sqrt{(\sqrt{19} )^2-2\cdot\sqrt{19}\cdot4+4^2}}}=[/tex]

[tex]=\sqrt{\sqrt{19}-\sqrt{3-8\sqrt{\left(\sqrt{19}-4\right)^2}}}=\sqrt{\sqrt{19}-\sqrt{3-8\left|\sqrt{19}-4\right|}}=[/tex]

[tex]=\sqrt{\sqrt{19}-\sqrt{3-8\left(\sqrt{19}-4\right)}}=\sqrt{\sqrt{19}-\sqrt{3-8\sqrt{19}+32\right)}}=[/tex]

[tex]=\sqrt{\sqrt{19}-\sqrt{35-8\sqrt{19}\right)}}\ \boxed{=}[/tex]

Выше было установлено, что [tex]\sqrt{35-8\sqrt{19}}=\sqrt{19} -4[/tex]:

[tex]\boxed{=}\ \sqrt{\sqrt{19}-\left(\sqrt{19}-4\right)}=\sqrt{\sqrt{19}-\sqrt{19}+4}=\sqrt{4} =2\in\mathbb{Z}[/tex]