Ответ:

1. [tex]\displaystyle \bf y'=-\frac{4x^3+cosx}{3y^2}[/tex]

2. [tex]\displaystyle \bf y'(x)=-\frac{2}{t^2cost}[/tex]

3. [tex]\displaystyle \bf y_k=-0,06x+0,72[/tex];

[tex]\displaystyle \bf y_n=\frac{50}{3}x+50,9[/tex].

Объяснение:

1. Найти производную функции у(х), которая задана неявно уравнением:

[tex]\displaystyle x^4+y^3+sinx=0[/tex]

Так как у является функцией от х, то будем рассматривать у³ как сложную функцию от х.

[tex]\displaystyle 4x^3+3y^2\cdot y'+cosx=0\\\\3y^2\cdot y'=-4x^3-cosx\\\\y'=\frac{-4x^3-cosx}{3y^2}[/tex]

[tex]\displaystyle \bf y'=-\frac{4x^3+cosx}{3y^2}[/tex]

2. Найдите производную функции y (x), заданную параметрически.

[tex]\displaystyle \left \{ {{x=sint} \atop {y=\frac{2}{t} }} \right.[/tex]

Формула производной для функции, заданной параметрически:

[tex]\boxed {\displaystyle \bf y'(x)=\frac{y'(t)}{x'(t)} }[/tex]

Найдем x'(t) и y'(t):

[tex]\displaystyle x'(t)=cost\\ \\ y'(t)=-\frac{2}{t^2}[/tex]

[tex]\displaystyle \bf y'(x)=-\frac{2}{t^2cost}[/tex]

3. Найти уравнение касательной и нормали к графику функции y= f(x) в точке абсциссой x₀.

[tex]\displaystyle y=\frac{x^2}{x^2+1} ,\;\;\;\;\;x_0=-3[/tex]

Найдем производную:

[tex]\displaystyle y'=\frac{(x^2)'\cdot (x^2+1)-x^2\vdot(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} =\frac{2x\cdot(x^2+1)-x^2\cdot 2x}{(x^2+1)^2} =\\\\=\frac{2x^3+2x-2x^3}{(x^2+1)^2} =\frac{2x}{(x^2+1)^2}[/tex]

Найдем значение функции и ее производной в точке x₀ = -3.

[tex]\displaystyle y(-3)=\frac{9}{9+1 }=\frac{9}{10}=0,9[/tex]

[tex]\displaystyle y'(-3)=\frac{-6}{(9+1)^2}=-\frac{6}{100} =-0,06[/tex]

Уравнение касательной:

[tex]\boxed {\displaystyle \bf y_k=y(x_0)+y'(x_0)(x-x_0)}[/tex]

[tex]\displaystyle y_k=0,9+(-0,06)(x-(-3))=0,9-0,06(x+3)=\\ \\=0,9-0,06x-0,18=-0,06x+0,72[/tex]

Получили уравнение касательной:

[tex]\displaystyle \bf y_k=-0,06x+0,72[/tex]

Уравнение нормали:

[tex]\boxed {\displaystyle \bf y_n=y(x_0)-\frac{1}{y'(x_0)} (x-x_0)}[/tex]

[tex]\displaystyle y_n=0,9-\frac{1}{-0,06} \cdot(x-(-3))=0,9+\frac{100}{6} (x+3)=\\\\=0,9+\frac{50x}{3} +50=\frac{50}{3}x+50,9[/tex]

Получили уравнение нормали:

[tex]\displaystyle \bf y_n=\frac{50}{3}x+50,9[/tex]

#SPJ1