Ответ:

[tex]\dfrac{\pi}{9}-\dfrac{\sqrt{3}}{6}[/tex]

Пошаговое объяснение:

Формула интегрирования по частям: [tex]\displaystyle \int\limits^a_b udv=uv|\limits^a_b -\int\limits^a_b vdu[/tex].

Пусть для исходного интеграла [tex]u=\arcsin{x},dv=\dfrac{xdx}{(1-x^2)^2}=-\dfrac{d(1-x^2)}{2(1-x^2)^2}[/tex], тогда [tex]du=\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}},v=\dfrac{1}{2(1-x^2)}[/tex]. Подставляя в формулу, получаем:

[tex]\displaystyle \int\limits^\frac{1}{2}_0 \dfrac{x\arcsin{x}\, dx}{(1-x^2)^2}=\dfrac{\arcsin{x}}{2(1-x^2)}|^\frac{1}{2}_0-\dfrac{1}{2}\int\limits^\frac{1}{2}_0 \dfrac{dx}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}[/tex].

Отдельно найдём интеграл в правой части. Пусть [tex]x=\sin{t}[/tex], тогда [tex]dx=\cos{t}dt[/tex], пределы интегрирования — от 0 до [tex]\dfrac{\pi}{6}[/tex]:

[tex]\displaystyle \int\limits^\frac{\pi}{6}_0 \dfrac{\cos{t}dt}{(1-\sin^2{t})^\frac{3}{2}}=\int\limits^\frac{\pi}{6}_0 \dfrac{\cos{t}dt}{\cos^3{t}}=\int\limits^\frac{\pi}{6}_0 \dfrac{dt}{\cos^2{t}}=tg\left(\dfrac{\pi}{6}\right)-tg\, 0=\dfrac{\sqrt{3}}{3}[/tex].

Подставляя в правую часть, получаем:

[tex]\displaystyle \int\limits^\frac{1}{2}_0 \dfrac{x\arcsin{x}\, dx}{(1-x^2)^2}=\dfrac{\pi}{6\cdot 2\cdot\dfrac{3}{4}}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{\pi}{9}-\dfrac{\sqrt{3}}{6}[/tex]