Ответ:

Пошаговое объяснение:

Необхідно знайти невизначений інтеграл від функції sin³2x.

Спочатку варто скористатися формулою для куба синуса:

sin³x = (3sinx - sin3x) / 4

Підставимо у формулу x = 2x:

sin³2x = (3sin2x - sin6x) / 4

Тепер можемо підставити цей вираз у початковий інтеграл:

∫ sin³2x dx = ∫ [(3sin2x - sin6x) / 4] dx

Розділимо цей інтеграл на два доданки і інтегруємо їх окремо:

∫ [(3sin2x - sin6x) / 4] dx = (3/4) ∫ sin2x dx - (1/4) ∫ sin6x dx

Перший інтеграл можна взяти просто, використовуючи формулу для невизначеного інтегралу sin2x:

(3/4) ∫ sin2x dx = (-3/8) cos2x + C₁

Другий інтеграл можна взяти заміною t = 6x:

(1/4) ∫ sin6x dx = (-1/24) cos6x + C₂

Замінимо назад t на 6x і підставимо отримані вирази у вихідний інтеграл:

∫ sin³2x dx = (3/4) ∫ sin2x dx - (1/4) ∫ sin6x dx

= (-3/8) cos2x + C₁ - (1/4)(-1/24) cos6x + C₂

= (-3/8) cos2x + (1/96) cos6x + C

Тут С - загальна стала інтегрування, що складається з обох сталих підінтегральних доданків. Отже, відповідь:

∫ sin³2x dx = (-3/8) cos2x + (1/96) cos6x + C.