Ответ:

[tex]3851\frac{17}{32}[/tex]

Объяснение:

Для решения потребуется одна табличная производная:

[tex](x^{k})' = k*x^{k-1}[/tex]

Теперь запишем функцию в более удобном нам виде

[tex]y = 5x^{3} + 14x^{1} - 20x^{\frac{1}{2} } - 8x^{-1} - 7[/tex]

Также мы знаем, что

[tex](f(x) + y(x))' = f'(x) + y'(x)[/tex]

Поэтому производная этой функции будет просто суммой производных одночленов

[tex]y' = (5x^{3})' + (14x^{1})' - (20x^{\frac{1}{2} })' - (8x^{-1})' - 0[/tex]

[tex]y' = 3*5x^{2} + 1*14x^{0} - \frac{1}{2}* 20x^{\frac{-1}{2} } - (-1)*8x^{-2} - 0[/tex]

[tex]y' = 15x^{2} + 14 - \frac{10}{\sqrt{x} } + \frac{8}{x^{2} }[/tex]

Теперь сюда остается подставить значение [tex]x0 = 16\\[/tex]

[tex]y'(16) = 15 * 16^{2} + 14 - \frac{10}{\sqrt{16} } + \frac{8}{16^{2} } = \frac{123249}{32} = 3851\frac{17}{32}[/tex]