Написать уравнения всех касательных к графику функции y = (– x²/2) + 2, проходящих через точку M(0,5; 2).

Решение. Точка M(0,5; 2) не является точкой касания, так как f(0,5) не равна 2.

1. a – абсцисса точки касания.

2. f(a) = (– a²/2) + 2.

3. f '(x) = (– 2x/2) , f '(a) = – a.

4. y = (– a²/2) + 2 + (-a)(x – a),

  y = (– a²/2) + 2  - ax + a²),

  y = -ax + 2 + (a²/2)  – уравнение касательной.

Общее уравнение касательной y = f(a) + f '(a)(x – a).

Касательная проходит через точку M(0,5; 2), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.

2 = -а*0,5 + 2 + (а²/2),

(а²/2) - 0,5а = 0,

а² - а = 0,

а(а – 1) = 0

a1 = 0, a2 = 1.

Если a = 0, то уравнение касательной имеет вид y = 2.

Если a = 1, то уравнение касательной имеет вид y = -х + 2,5.