Ответ:
Сделаем замену x = 3t^(1/4), тогда dx = (4/3)*t^(-3/4)dt.
Исходный интеграл примет вид:
∫
∞
x
3
/(x
4
+9)dx = ∫
(3t^(1/4))^3 / ((3t^(1/4))^4 + 9) * (4/3)*t^(-3/4)dt = 4∫
t^(-3/4) / (t + 3)*dt
Разобьем этот интеграл на сумму двух:
t^(-3/4) / (t + 3)*dt = ∫
[t^(-3/4)/(t+3) - t^(-7/4)/(t+3)]dt + ∫
t^(-7/4)/(t+3)dt
Первый интеграл сходится, так как его интеграл от 1 до бесконечности равен конечному числу. Второй интеграл сходится по признаку сравнения, сравнивая его с ∫
t^(-5/4)dt, который сходится.
Итого, ответ:
4[∫
t^(-7/4)/(t+3)dt] ≈ 1.214.
Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Ответ:
Сделаем замену x = 3t^(1/4), тогда dx = (4/3)*t^(-3/4)dt.
Исходный интеграл примет вид:
∫
∞
x
3
/(x
4
+9)dx = ∫
∞
(3t^(1/4))^3 / ((3t^(1/4))^4 + 9) * (4/3)*t^(-3/4)dt = 4∫
∞
t^(-3/4) / (t + 3)*dt
Разобьем этот интеграл на сумму двух:
∫
∞
t^(-3/4) / (t + 3)*dt = ∫
∞
[t^(-3/4)/(t+3) - t^(-7/4)/(t+3)]dt + ∫
∞
t^(-7/4)/(t+3)dt
Первый интеграл сходится, так как его интеграл от 1 до бесконечности равен конечному числу. Второй интеграл сходится по признаку сравнения, сравнивая его с ∫
∞
t^(-5/4)dt, который сходится.
Итого, ответ:
4[∫
∞
[t^(-3/4)/(t+3) - t^(-7/4)/(t+3)]dt + ∫
∞
t^(-7/4)/(t+3)dt] ≈ 1.214.