Verified answer

Ответ:

Вычислить значение угла    [tex]\bf arccos\Big(cos(2\, arctg(\sqrt2-1))\Big)[/tex]   .              

Обозначим через   [tex]\boldsymbol{\beta}[/tex]   угол   [tex]\boldsymbol{\beta =arctg(\sqrt2-1)}[/tex]   .

По определению функции арктангенс отсюда следует :  

[tex]\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{-\frac{\pi }{2} < \beta < \frac{\pi }{2}}\ ,\\\boldsymbol{tg\beta =\sqrt2-1\ .}\end{array}\right\ \ (*)[/tex]        

Обозначим через  [tex]\bf \alpha[/tex]  угол   [tex]\bf \alpha =arccos\Big(cos(2arctg(\sqrt2-1))\Big)[/tex]  .

Тогда условие можно записать в виде   [tex]\boldsymbol{\alpha =arccos\Big(cos2\beta \Big)}[/tex]  .

По определению функции арккосинус отсюда следует :  

[tex]\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{0\leq \alpha \leq \pi }\ ,\\\boldsymbol{cos\alpha =cos(2arctg(\sqrt2-1))=cos2\beta \ .}\end{array}\right\ \ (**)[/tex]          

Найдём сначала  [tex]\boldsymbol{cos\alpha }[/tex]  , учитывая свойства  [tex](*)[/tex]  и  [tex](**)[/tex]

[tex]\boldsymbol{cos\alpha =cos2\beta =\dfrac{cos2\beta }{1}=\dfrac{cos^2\beta -sin^2\beta }{sin^2\beta +cos^2\beta }=\dfrac{cos^2\beta \, (1-tg^2\beta )}{cos^2\beta \, (tg^2\beta +1)}=}\\\\\\\boldsymbol{=\dfrac{1-tg^2\beta }{1+tg^2\beta }=\dfrac{1-(\sqrt2-1)^2}{1+(\sqrt2-1)^2}=\dfrac{1-(2-2\sqrt2+1)}{1+2-2\sqrt2+1}=\dfrac{-2+2\sqrt2}{4-2\sqrt2}=}[/tex]

[tex]\boldsymbol{=\dfrac{2\, (\sqrt2-1)}{2\, (2-\sqrt2)}=\dfrac{(\sqrt2-1)(2+\sqrt2)}{(2-\sqrt2)(2+\sqrt2)}=\dfrac{2\sqrt2+2-2-\sqrt2}{4-2}=\dfrac{\sqrt2}{2}}[/tex]  

Теперь имеем , учитывая   [tex](**)[/tex] :

[tex]\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{0\leq \alpha \leq \pi }\\\boldsymbol{cosa=\dfrac{\sqrt2}{2}}\end{array}\right\ \ \ \boldsymbol{\Rightarrow \ \ \ \alpha =\dfrac{\pi }{4}}[/tex]  

Ответ:      [tex]\boldsymbol{arccos\Big(cos(2\, arctg(\sqrt2-1))\Big)=\dfrac{\pi }{4}}[/tex]   .