Для вычисления косинуса угла между боковой гранью и основанием необходимо знать длины любых двух сторон, образующих этот угол. В нашем случае это боковое ребро пирамиды и ребро основания, которые нам уже известны. Обозначим боковое ребро через b, а ребро основания через a.

Используя теорему Пифагора, найдем длину высоты пирамиды h: h^2 = b^2 - (a/2)^2.

В данном случае h^2 = (4√7)^2 - (4)^2 = 64⋅7 - 16 = 432, откуда h = 4√27 см.

Теперь можем вычислить косинус угла между боковой гранью и основанием: cos α = (b/2)/(h) = 4/(4√27) = 1/√27.

Ответ: косинус угла между боковой гранью и основанием пирамиды равен 1/√27.